Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=\frac{\ln \left(3 y^{2}-2 x\right)}{\sqrt[5]{4 x-y+5}} ?
Escolha uma opção:
a) \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5>0,3 y^{2}-2 x>0\right\}
b) \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5>0\right\}
C) \mathbb{R}^{2}
d) \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5 \neq 0,3 y^{2}-2 x \neq 0\right\}
e) \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5>0,3 y^{2}-2 x \neq 0\right\}
f) \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 y^{2}-2 x \neq 0\right\}
g) \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5 \neq 0,3 y^{2}-2 x>0\right\}
h) \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 3 y^{2}-2 x>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos o domínio da função
f(x,y)=\frac{\ln\!\bigl(3y^{2}-2x\bigr)}{\sqrt[5]{4x-y+5}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão: numerador \ln\!\bigl(3y^{2}-2x\bigr) e denominador \sqrt[5]{4x-y+5}.
  • Foram dadas várias alternativas para o domínio; precisamos escolher a que corresponde às restrições impostas pela função.

Passo 2

Condição imposta pelo logaritmo natural no numerador.
A função \ln(t) só está definida para argumentos estritamente positivos. Logo, o argumento t=3y^{2}-2x precisa satisfazer
3y^{2}-2x>0.
Explicando devagar: quando escrevemos \ln(t) precisamos de t>0 porque o logaritmo natural não aceita zero nem números negativos. Portanto qualquer ponto (x,y) do domínio deve respeitar essa desigualdade estrita.

Passo 3

Condição imposta pelo denominador.
O denominador é \sqrt[5]{4x-y+5}, isto é, a raiz de índice 5 (ímpar) do radicando 4x-y+5. Propriedades importantes das raízes ímpares:
  • Para índice ímpar, \sqrt[5]{u} está definido para todo u\in\mathbb{R} (raiz de número negativo existe e é real).
  • Porém, como essa expressão está no denominador, não podemos permitir que o denominador seja zero.
Portanto a restrição do denominador é simplesmente
4x-y+5\neq 0.
Observação didática: se fosse raiz de índice par (por exemplo \sqrt{\;}), precisaríamos do radicando \ge 0; mas aqui, por ser índice ímpar, o único problema é quando o radicando é zero (porque isso tornaria o denominador zero).

Passo 4

Combinação das condições para obter o domínio.
Juntando as duas restrições (do numerador e do denominador), o domínio é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente
3y^{2}-2x>0
e
4x-y+5\neq 0.
Em notação de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x-y+5\neq 0,\;3y^{2}-2x>0\}.

Passo 5

Verificação e comparação com as alternativas e exemplos para fixar.
  • A alternativa que exige 4x-y+5>0 (como a opção (a) ou (e)) é demasiado restritiva: não precisamos que o radicando seja positivo, pois raiz de índice ímpar aceita valores negativos; exigimos apenas que ele não seja zero.
  • A alternativa que permite \mathbb{R}^2 (opção (C)) é falsa porque o logaritmo impõe 3y^{2}-2x>0.
  • A alternativa que usa apenas desigualdades do tipo \neq 0 para ambos (opção (d)) é falsa porque o logaritmo exige positividade, não apenas desigualdade com zero.
  • Portanto a alternativa que coincide com a descrição correta é a que pede 4x-y+5\neq 0 e 3y^{2}-2x>0, isto é, a alternativa (g).
Exemplos concretos para sentir a diferença:
  • Ponto permitido: escolha y=0,\;x=-1. Então 3y^{2}-2x=0+2=2>0 e 4x-y+5=4(-1)+0+5=1\neq0. Logo (-1,0) está no domínio.
  • Ponto proibido por log: escolha y=0,\;x=1. Então 3y^{2}-2x=-2\le0, logo não está no domínio.
  • Ponto proibido por denominador zero: escolha y=1,\;x=-1 resolve 4x-y+5=4(-1)-1+5=0 enquanto 3y^{2}-2x=3-2(-1)=5>0; aqui o log existe mas o denominador é zero, então o ponto é proibido.

Resposta

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 4 x-y+5 \neq 0,\,3 y^{2}-2 x>0\right\}

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