Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função
?
Escolha uma opção:
a)
b)
C)
d)
e)
f)
g)
h)
Escolha uma opção:
a)
b)
C)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos o domínio da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão: numerador
e denominador . - Foram dadas várias alternativas para o domínio; precisamos escolher a que corresponde às restrições impostas pela função.
Passo 2
Condição imposta pelo logaritmo natural no numerador.
A função
só está definida para argumentos estritamente positivos. Logo, o argumento
precisa satisfazer
Explicando devagar: quando escrevemos
precisamos de
porque o logaritmo natural não aceita zero nem números negativos. Portanto qualquer ponto
do domínio deve respeitar essa desigualdade estrita.
Passo 3
Condição imposta pelo denominador.
O denominador é
, isto é, a raiz de índice
(ímpar) do radicando
. Propriedades importantes das raízes ímpares:
- Para índice ímpar,
está definido para todo (raiz de número negativo existe e é real). - Porém, como essa expressão está no denominador, não podemos permitir que o denominador seja zero.
Portanto a restrição do denominador é simplesmente
Observação didática: se fosse raiz de índice par (por exemplo
), precisaríamos do radicando
; mas aqui, por ser índice ímpar, o único problema é quando o radicando é zero (porque isso tornaria o denominador zero).
Passo 4
Combinação das condições para obter o domínio.
Juntando as duas restrições (do numerador e do denominador), o domínio é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente
e
Em notação de conjunto:
Passo 5
Verificação e comparação com as alternativas e exemplos para fixar.
- A alternativa que exige
(como a opção (a) ou (e)) é demasiado restritiva: não precisamos que o radicando seja positivo, pois raiz de índice ímpar aceita valores negativos; exigimos apenas que ele não seja zero. - A alternativa que permite
(opção (C)) é falsa porque o logaritmo impõe . - A alternativa que usa apenas desigualdades do tipo
para ambos (opção (d)) é falsa porque o logaritmo exige positividade, não apenas desigualdade com zero. - Portanto a alternativa que coincide com a descrição correta é a que pede
e , isto é, a alternativa (g).
Exemplos concretos para sentir a diferença:
- Ponto permitido: escolha
. Então e . Logo está no domínio. - Ponto proibido por log: escolha
. Então , logo não está no domínio. - Ponto proibido por denominador zero: escolha
resolve enquanto ; aqui o log existe mas o denominador é zero, então o ponto é proibido.