A integral
converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
e.
.
f.
.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a integral imprópria
converge e, se convergir, que calculemos o seu valor numérico exato.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o integrando é e os limites de integração são de
até
. Como
exige
, o intervalo de integração
está dentro do domínio da função. A questão é portanto de convergência no infinito e de cálculo do valor da integral.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o integrando é
Passo 2
Vamos analisar a convergência quando
. Para
grande temos
, portanto o integrando se comporta como
Sabemos pelo teste
-integral que
converge se
. Como aqui
, a integral comparável
converge, logo por comparação a integral dada também converge. Assim, a integral é convergente.
Passo 3
Para calcular o valor exato, escolhemos uma substituição trigonométrica apropriada para eliminar a raiz
. Uma boa escolha é
porque então
de modo que
. Como
, temos
e
, onde
(uso
porque
). Calculamos também
Passo 4
Substituímos tudo na integral. Primeiro escrevo os fatores:
Logo o integrando vira
Agora simplificamos passo a passo: no numerador e denominador aparece
que cancela, o
do numerador cancela com um dos
do denominador, e sobramos com
Portanto a integral original transforma-se em
onde
.
Passo 5
Agora calculemos
. Usamos a identidade
e a substituição
,
. Assim
Voltando a
,
Passo 6
Aplicamos a primitiva aos limites
e
. Primeiro o valor em
:
Agora o valor em
. Sabemos que
, portanto
positiva porque
. Assim
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Subtraímos o valor em
do valor em
e multiplicamos por
:
Colocando em denominador comum
dentro dos parênteses:
Multiplicando por
dá
Fatorando
no numerador:
Outra forma equivalente, escrevendo como diferença, é
Resposta
Converge;
(alternativa f).