A integral \int_{3}^{+\infty} \frac{d x}{x^{4} \sqrt{x^{2}-4}} converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \frac{1}{24}-\frac{13 \sqrt{5}}{648}.
\bigcirc b. \frac{1}{48}-\frac{11 \sqrt{5}}{648}.
\bigcirc c. \frac{1}{24}-\frac{32 \sqrt{5}}{648}.
\bigcirc d. \frac{1}{24}.
\bigcirc e. \frac{11 \sqrt{5}}{648}.
\bigcirc f. \frac{1}{24}-\frac{11 \sqrt{5}}{648}.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a integral imprópria
\int_{3}^{+\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-4}}
converge e, se convergir, que calculemos o seu valor numérico exato.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o integrando é \dfrac{1}{x^{4}\sqrt{x^{2}-4}} e os limites de integração são de x=3 até x\to+\infty. Como \sqrt{x^{2}-4} exige x\ge 2, o intervalo de integração [3,+\infty) está dentro do domínio da função. A questão é portanto de convergência no infinito e de cálculo do valor da integral.

Passo 2

Vamos analisar a convergência quando x\to+\infty. Para x grande temos \sqrt{x^{2}-4}\sim x, portanto o integrando se comporta como
\frac{1}{x^{4}\sqrt{x^{2}-4}}\sim\frac{1}{x^{5}}.
Sabemos pelo teste p-integral que
\int_{A}^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}
converge se p>1. Como aqui p\approx 5>1, a integral comparável \int^{\infty}1/x^{5} converge, logo por comparação a integral dada também converge. Assim, a integral é convergente.

Passo 3

Para calcular o valor exato, escolhemos uma substituição trigonométrica apropriada para eliminar a raiz \sqrt{x^{2}-4}. Uma boa escolha é
x=2\operatorname{sec}\theta,
porque então
x^{2}-4=4\operatorname{sec}^{2}\theta-4=4(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=4\tan^{2}\theta,
de modo que \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta. Como x\ge 3>2, temos \operatorname{sec}\theta\ge 3/2 e \theta\in\bigl[\theta_{0},\tfrac{\pi}{2}\bigr), onde
\theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)
(uso \operatorname{arccos} porque \cos\theta=2/x). Calculamos também
dx=2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 4

Substituímos tudo na integral. Primeiro escrevo os fatores:
x^{4}=(2\operatorname{sec}\theta)^{4}=16\operatorname{sec}^{4}\theta, \qquad \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta, \qquad dx=2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Logo o integrando vira
\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-4}} =\frac{2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{16\operatorname{sec}^{4}\theta\cdot 2\tan\theta}.
Agora simplificamos passo a passo: no numerador e denominador aparece \tan\theta que cancela, o 2 do numerador cancela com um dos 2 do denominador, e sobramos com
\frac{2\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{32\operatorname{sec}^{4}\theta\tan\theta}\,d\theta =\frac{1}{16}\frac{1}{\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta =\frac{1}{16}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Portanto a integral original transforma-se em
\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-4}} =\frac{1}{16}\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta,
onde \theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 5

Agora calculemos \displaystyle\int\cos^{3}\theta\,d\theta. Usamos a identidade \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta) e a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Assim
\int\cos^{3}\theta\,d\theta=\int(1-u^{2})\,du=u-\frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando a \theta,
\int\cos^{3}\theta\,d\theta=\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}+C.

Passo 6

Aplicamos a primitiva aos limites \theta_{0} e \pi/2. Primeiro o valor em \theta=\pi/2:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\frac{\sin^{3}\!(\tfrac{\pi}{2})}{3} =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Agora o valor em \theta_{0}. Sabemos que \cos\theta_{0}=\tfrac{2}{3}, portanto
\sin\theta_{0}=\sqrt{1-\cos^{2}\theta_{0}}=\sqrt{1-\tfrac{4}{9}}=\sqrt{\tfrac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3},
positiva porque \theta_{0}\in(0,\tfrac{\pi}{2}). Assim
\sin\theta_{0}-\frac{\sin^{3}\theta_{0}}{3} =\frac{\sqrt{5}}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{3} =\frac{\sqrt{5}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{81}.
Colocando em denominador comum 81:
\frac{\sqrt{5}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{81} =\frac{27\sqrt{5}-5\sqrt{5}}{81} =\frac{22\sqrt{5}}{81}.

Passo 7

Subtraímos o valor em \theta_{0} do valor em \pi/2 e multiplicamos por 1/16:
\frac{1}{16}\left(\frac{2}{3}-\frac{22\sqrt{5}}{81}\right).
Colocando em denominador comum 81 dentro dos parênteses:
\frac{2}{3}=\frac{54}{81}, \qquad \frac{54}{81}-\frac{22\sqrt{5}}{81}=\frac{54-22\sqrt{5}}{81}.
Multiplicando por 1/16
\frac{54-22\sqrt{5}}{1296}.
Fatorando 2 no numerador:
\frac{2(27-11\sqrt{5})}{1296}=\frac{27-11\sqrt{5}}{648}.
Outra forma equivalente, escrevendo como diferença, é
\frac{27}{648}-\frac{11\sqrt{5}}{648}=\frac{1}{24}-\frac{11\sqrt{5}}{648}.

Resposta

Converge; \displaystyle \frac{1}{24}-\frac{11\sqrt{5}}{648} (alternativa f).

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