Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Método dos Discos.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
usando o Método dos Discos (lavadores/anel).
Informações dadas (todas as curvas fornecidas no enunciado):
Informações dadas (todas as curvas fornecidas no enunciado):
e o eixo de revolução é
.
O enunciado quer a integral (em ) que representa o volume usando discos (washers). Neste passo apenas reiterei o que foi dado e o que se pede.
O enunciado quer a integral (em
Passo 2
Vamos encontrar as interseções entre as curvas para determinar os limites em
e como a região é formada.
Interseção entre
e
. Igualando:
Somando
aos dois lados e subtraindo
:
Para
, o valor de
(peguei da própria equação) é
Logo existe uma interseção em
.
Passo 3
Interseção entre
e
. Igualando:
Subtraindo
:
Multiplicando por 2:
Testando
:
, logo
é raiz. Fazendo a divisão por
obtemos os fatores restantes complexos, então a única raiz real é
. Para
,
Interseção em
.
Passo 4
Interseção entre
e
. Igualando:
Subtraindo 2:
A única solução real é
. Para
,
. Interseção em
.
Passo 5
Com as interseções encontradas, a região
é delimitada por essas três curvas com projeção em
indo de
até
. Observando quais curvas são topo e fundo em cada subintervalo:
- Para
: a curva superior é (curva 2) e a inferior é (curva 3). (Pode-se checar com um ponto intermediário, por exemplo .) - Para
: a curva superior é (curva 2) e a inferior é (curva 1).
Portanto precisamos de duas integrais (duas lâminas verticais): uma em
entre curvas 2 e 3, e outra em
entre curvas 2 e 1.
Passo 6
Explicando o Método dos Discos (lavadores/anel) de forma direta: ao girar uma fatia vertical de espessura
em torno de
, o volume dessa fatia é
onde
é a distância (vertical) do eixo
até a curva superior e
é a distância do eixo até a curva inferior. Distância vertical de um ponto com coordenada
ao eixo
é
. Então para qualquer curva
seu raio em relação a
é
.
Passo 7
Construindo os raios para o intervalo à esquerda
:
- Curva superior:
. Então
- Curva inferior:
. Então
Assim a contribuição do lado esquerdo é
Passo 8
Construindo os raios para o intervalo à direita
:
- Curva superior continua sendo
, logo
- Curva inferior agora é
, logo
Portanto a contribuição do lado direito é
Passo 9
Somando as duas contribuições obtemos a integral total do volume:
Comparando com as opções fornecidas, esta expressão corresponde exata e diretamente à opção (c).
Passo 10
Conclusão: a integral do volume pelo Método dos Discos é a da opção (c), que foi obtida explicitando os raios como
para cada curva superior e inferior em cada subintervalo.
Resposta
(c)