Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y=x^{3}+2, y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2} e y=-\frac{x}{2}+2 em torno do eixo y=-1 usando o Método dos Discos.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \pi \int_{-1}^{0}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+1\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(x^{3}+1\right)^{2}\right] d x
\bigcirc b. \quad \pi \int_{-1 / 2}^{0}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-x^{3}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x
\bigcirc c. \pi \int_{-1 / 2}^{0}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+3\right)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(x^{3}+3\right)^{2}\right] d x
\bigcirc d. \quad \pi \int_{-1}^{1}\left[\left(2 x-x^{3}+\frac{5}{2}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x
\bigcirc e. \pi \int_{-1}^{0}\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x+\pi \int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}-x^{3}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x
\bigcirc \pi \int_{-1 / 2}^{1}\left[\left(x+\frac{1}{2}-x^{3}\right)^{2}-(1)^{2}\right] d x

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região S em torno do eixo y=-1 usando o Método dos Discos (lavadores/anel).
Informações dadas (todas as curvas fornecidas no enunciado):
\text{Curva 1: } y = x^{3}+2,
\text{Curva 2: } y = \frac{x}{2}+\frac{5}{2},
\text{Curva 3: } y = -\frac{x}{2}+2,
e o eixo de revolução é y=-1.
O enunciado quer a integral (em x) que representa o volume usando discos (washers). Neste passo apenas reiterei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos encontrar as interseções entre as curvas para determinar os limites em x e como a região é formada.
Interseção entre \displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2} e \displaystyle y=-\frac{x}{2}+2. Igualando:
\frac{x}{2}+\frac{5}{2}=-\frac{x}{2}+2.
Somando \frac{x}{2} aos dois lados e subtraindo \frac{5}{2}:
x = 2-\frac{5}{2} = -\frac{1}{2}.
Para x=-\frac{1}{2}, o valor de y (peguei da própria equação) é
y=\frac{-1/2}{2}+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=\frac{9}{4}.
Logo existe uma interseção em \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}\bigr).

Passo 3

Interseção entre \displaystyle y=x^{3}+2 e \displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}. Igualando:
x^{3}+2=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}.
Subtraindo 2:
x^{3}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{x+1}{2}.
Multiplicando por 2:
2x^{3}=x+1 \quad\Rightarrow\quad 2x^{3}-x-1=0.
Testando x=1: 2(1)-1-1=0, logo x=1 é raiz. Fazendo a divisão por (x-1) obtemos os fatores restantes complexos, então a única raiz real é x=1. Para x=1,
y=1^{3}+2=3.
Interseção em (1,3).

Passo 4

Interseção entre \displaystyle y=x^{3}+2 e \displaystyle y=-\frac{x}{2}+2. Igualando:
x^{3}+2=-\frac{x}{2}+2.
Subtraindo 2:
x^{3}=-\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad x^{3}+\frac{x}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)=0.
A única solução real é x=0. Para x=0, y=2. Interseção em (0,2).

Passo 5

Com as interseções encontradas, a região S é delimitada por essas três curvas com projeção em x indo de -\tfrac{1}{2} até 1. Observando quais curvas são topo e fundo em cada subintervalo:
  • Para x\in\left[-\tfrac{1}{2},0\right]: a curva superior é \displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2} (curva 2) e a inferior é \displaystyle y=-\frac{x}{2}+2 (curva 3). (Pode-se checar com um ponto intermediário, por exemplo x=-\tfrac{1}{4}.)
  • Para x\in\left[0,1\right]: a curva superior é \displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2} (curva 2) e a inferior é \displaystyle y=x^{3}+2 (curva 1).
Portanto precisamos de duas integrais (duas lâminas verticais): uma em \left[-\tfrac{1}{2},0\right] entre curvas 2 e 3, e outra em [0,1] entre curvas 2 e 1.

Passo 6

Explicando o Método dos Discos (lavadores/anel) de forma direta: ao girar uma fatia vertical de espessura dx em torno de y=-1, o volume dessa fatia é
dV=\pi\bigl(R_{\text{externo}}^{2}-R_{\text{interno}}^{2}\bigr)\,dx,
onde R_{\text{externo}} é a distância (vertical) do eixo y=-1 até a curva superior e R_{\text{interno}} é a distância do eixo até a curva inferior. Distância vertical de um ponto com coordenada y ao eixo y=-1 é y-(-1)=y+1. Então para qualquer curva y=f(x) seu raio em relação a y=-1 é f(x)+1.

Passo 7

Construindo os raios para o intervalo à esquerda x\in\left[-\tfrac{1}{2},0\right]:
  • Curva superior: \displaystyle y_{\text{sup}}=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}. Então
R_{\text{externo}}=y_{\text{sup}}+1=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}+1=\frac{x}{2}+\frac{7}{2}.
  • Curva inferior: \displaystyle y_{\text{inf}}=-\frac{x}{2}+2. Então
R_{\text{interno}}=y_{\text{inf}}+1=-\frac{x}{2}+2+1=-\frac{x}{2}+3.
Assim a contribuição do lado esquerdo é
\pi\int_{-1/2}^{0}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+3\right)^{2}\right]dx.

Passo 8

Construindo os raios para o intervalo à direita x\in[0,1]:
  • Curva superior continua sendo \displaystyle y_{\text{sup}}=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}, logo
R_{\text{externo}}=\frac{x}{2}+\frac{7}{2}.
  • Curva inferior agora é \displaystyle y_{\text{inf}}=x^{3}+2, logo
R_{\text{interno}}=x^{3}+2+1=x^{3}+3.
Portanto a contribuição do lado direito é
\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(x^{3}+3\right)^{2}\right]dx.

Passo 9

Somando as duas contribuições obtemos a integral total do volume:
\pi\int_{-1/2}^{0}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(-\frac{x}{2}+3\right)^{2}\right]dx +\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{x}{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}-\left(x^{3}+3\right)^{2}\right]dx.
Comparando com as opções fornecidas, esta expressão corresponde exata e diretamente à opção (c).

Passo 10

Conclusão: a integral do volume pelo Método dos Discos é a da opção (c), que foi obtida explicitando os raios como y+1 para cada curva superior e inferior em cada subintervalo.

Resposta

(c)

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