1. Das alternativas abaixo, julgue qual delas não é um sólido de Platão.
    A) Cubo
    B) Tetraedro Regular
    C) Icosaedro
    D) Dodecaedro
    E) Cone

Passo 1

O enunciado pergunta: dentre as alternativas abaixo, qual delas não é um sólido de Platão? As alternativas são:
A) Cubo
B) Tetraedro Regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cone

Passo 2

Primeiro, vamos entender claramente o que é um sólido de Platão (explicação didática). Um sólido de Platão é um poliedro convexo com duas propriedades obrigatórias: (1) todas as faces são polígonos regulares congruentes entre si; (2) em cada vértice se encontram o mesmo número de faces. Em palavras mais simples: todas as faces são o mesmo tipo de polígono regular (por exemplo, triângulos equiláteros ou quadrados) e a mesma quantidade de faces se encontra em cada vértice — isso dá uma regularidade máxima. Há exatamente 5 sólidos que satisfazem essas condições.

Passo 3

Agora vou ensinar uma ferramenta clássica para entender por que só existem exatamente 5 sólidos de Platão. Chamemos:
V
ao número de vértices,
E
ao número de arestas e
F
ao número de faces do poliedro. Para qualquer poliedro convexo vale a fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
Explico: essa é uma relação geral entre vértices, arestas e faces para poliedros convexos — é uma fórmula fundamental que liga essas três quantidades.

Passo 4

Agora caracterizamos as faces e vértices por dois inteiros: seja p o número de lados (aresta) de cada face (cada face é um p-gono regular) e seja q o número de faces que se encontram em cada vértice. Observações importantes e simples:
  • Cada face tem pelo menos 3 lados, então p\ge 3.
  • Em um vértice de um poliedro convexo encontram-se pelo menos 3 faces, então q\ge 3.
Contagens úteis (explicadas):
  • Cada face contribui com p arestas, mas cada aresta pertence a exatamente duas faces, portanto contagem total dá
pF = 2E.
  • Cada vértice é extremidade de q arestas, e cada aresta tem duas extremidades, então
qV = 2E.
Essas igualdades vêm de contar arestas de dois jeitos diferentes (pelas faces e pelos vértices).

Passo 5

Substituímos essas relações na fórmula de Euler para obter uma condição entre p e q. Daquelas duas igualdades temos
V=\frac{2E}{q},\qquad F=\frac{2E}{p}.
Inserindo em Euler:
\frac{2E}{q}-E+\frac{2E}{p}=2.
Dividindo ambos os lados por E>0 obtemos
\frac{2}{q}-1+\frac{2}{p}=\frac{2}{E}>0,
portanto
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}.
Essa desigualdade é crítica: só pares inteiros (p,q) com p\ge 3,\;q\ge 3 e que satisfaçam \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}>\dfrac{1}{2} são possíveis.

Passo 6

Vamos listar os pares (p,q) inteiros com p\ge 3,\;q\ge 3 que satisfazem \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}>\dfrac{1}{2}. Testando valores pequenos (é fácil de verificar à mão):
  • (p,q)=(3,3): \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}.
  • (p,q)=(3,4): \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}>\dfrac{1}{2}.
  • (p,q)=(4,3): sim, simétrico ao anterior.
  • (p,q)=(3,5): \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{8}{15}>\dfrac{1}{2}.
  • (p,q)=(5,3): sim, simétrico.
    Qualquer outro par com p\ge 6 ou q\ge 6 falha na desigualdade. Assim só existem essas cinco possibilidades de (p,q).

Passo 7

Cada par (p,q) corresponde a um sólido de Platão conhecido:
(3,3)\mapsto \text{Tetraedro regular},
(3,4)\mapsto \text{Octaedro},
(4,3)\mapsto \text{Cubo (hexaedro regular)},
(3,5)\mapsto \text{Icosaedro},
(5,3)\mapsto \text{Dodecaedro}.
Portanto existem exatamente 5 sólidos de Platão: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Passo 8

Agora comparo com as alternativas. As opções A) Cubo, B) Tetraedro Regular, C) Icosaedro e D) Dodecaedro são todos sólidos de Platão (constam da lista dos 5 clássicos). A alternativa E) Cone não é um poliedro composto por faces poligonais planas — um cone tem uma superfície lateral curva e uma base circular; portanto não satisfaz a definição de sólido de Platão.

Resposta

E) Cone

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