- Das alternativas abaixo, julgue qual delas não é um sólido de Platão.
A) Cubo
B) Tetraedro Regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cone
A) Cubo
B) Tetraedro Regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cone
Passo 1
O enunciado pergunta: dentre as alternativas abaixo, qual delas não é um sólido de Platão? As alternativas são:
A) Cubo
B) Tetraedro Regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cone
A) Cubo
B) Tetraedro Regular
C) Icosaedro
D) Dodecaedro
E) Cone
Passo 2
Primeiro, vamos entender claramente o que é um sólido de Platão (explicação didática). Um sólido de Platão é um poliedro convexo com duas propriedades obrigatórias: (1) todas as faces são polígonos regulares congruentes entre si; (2) em cada vértice se encontram o mesmo número de faces. Em palavras mais simples: todas as faces são o mesmo tipo de polígono regular (por exemplo, triângulos equiláteros ou quadrados) e a mesma quantidade de faces se encontra em cada vértice — isso dá uma regularidade máxima. Há exatamente
sólidos que satisfazem essas condições.
Passo 3
Agora vou ensinar uma ferramenta clássica para entender por que só existem exatamente
sólidos de Platão. Chamemos:
ao número de vértices,
ao número de arestas e
ao número de faces do poliedro. Para qualquer poliedro convexo vale a fórmula de Euler:
Explico: essa é uma relação geral entre vértices, arestas e faces para poliedros convexos — é uma fórmula fundamental que liga essas três quantidades.
Passo 4
Agora caracterizamos as faces e vértices por dois inteiros: seja
o número de lados (aresta) de cada face (cada face é um
-gono regular) e seja
o número de faces que se encontram em cada vértice. Observações importantes e simples:
- Cada face tem pelo menos
lados, então . - Em um vértice de um poliedro convexo encontram-se pelo menos
faces, então .
Contagens úteis (explicadas):
- Cada face contribui com
arestas, mas cada aresta pertence a exatamente duas faces, portanto contagem total dá
- Cada vértice é extremidade de
arestas, e cada aresta tem duas extremidades, então
Essas igualdades vêm de contar arestas de dois jeitos diferentes (pelas faces e pelos vértices).
Passo 5
Substituímos essas relações na fórmula de Euler para obter uma condição entre
e
. Daquelas duas igualdades temos
Inserindo em Euler:
Dividindo ambos os lados por
obtemos
portanto
Essa desigualdade é crítica: só pares inteiros
com
e que satisfaçam
são possíveis.
Passo 6
Vamos listar os pares
inteiros com
que satisfazem
. Testando valores pequenos (é fácil de verificar à mão):
-
: . -
: . -
: sim, simétrico ao anterior. -
: . -
: sim, simétrico.
Qualquer outro par comou falha na desigualdade. Assim só existem essas cinco possibilidades de .
Passo 7
Cada par
corresponde a um sólido de Platão conhecido:
Portanto existem exatamente
sólidos de Platão: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Passo 8
Agora comparo com as alternativas. As opções A) Cubo, B) Tetraedro Regular, C) Icosaedro e D) Dodecaedro são todos sólidos de Platão (constam da lista dos
clássicos). A alternativa E) Cone não é um poliedro composto por faces poligonais planas — um cone tem uma superfície lateral curva e uma base circular; portanto não satisfaz a definição de sólido de Platão.
Resposta
E) Cone