- Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos poliedros listados NÃO é considerado um sólido de Platão. As alternativas são:
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Devemos, portanto, identificar qual desses não pertence ao conjunto dos sólidos de Platão.
A) cubo.
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Devemos, portanto, identificar qual desses não pertence ao conjunto dos sólidos de Platão.
Passo 2
Vamos entender claramente o que é um sólido de Platão (explicação bem didática). Um sólido de Platão é um poliedro que satisfaz duas condições simultâneas:
- Todas as faces são polígonos regulares congruentes (ou seja, cada face é um polígonoregular e todas as faces têm a mesma forma e o mesmo tamanho).
- Em cada vértice, chega o mesmo número de faces (a configuração ao redor de todo vértice é idêntica).
Explicando os termos:
- Uma face é cada polígono plano que compõe o poliedro.
- “Polígono regular” significa que todos os lados e todos os ângulos internos desse polígono são iguais (por exemplo, um triângulo equilátero, um quadrado, um pentágono regular).
- “Congruentes” significa que podemos sobrepor duas faces por meio de uma translação/rotação — elas têm exatamente as mesmas dimensões.
- A condição sobre os vértices evita “quebras” na simetria: todo vértice tem o mesmo arranjo de faces ao redor.
Se um poliedro não satisfaz ambas as condições, ele não é um sólido de Platão.
Passo 3
Há um resultado clássico: existem exatamente cinco sólidos de Platão. Vou listar os cinco, dizendo quantas faces cada um tem e que tipo de polígono forma suas faces:
- Tetraedro:
4 faces, todas triângulos equiláteros. - Cubo (hexaedro regular):
6 faces, todas quadrados. - Octaedro:
8 faces, todas triângulos equiláteros. - Dodecaedro:
12 faces, todas pentágonos regulares. - Icosaedro:
20 faces, todas triângulos equiláteros.
Compare com as alternativas: A) cubo — está na lista; B) dodecaedro — está na lista; C) tetraedro — está na lista; E) icosaedro — está na lista. Resta verificar a alternativa D.
Passo 4
Agora, analisar a alternativa D: “paralelepípedo”. O paralelepípedo é um poliedro com 6 faces, cada face é um paralelogramo (em particular, um paralelepípedo retângulo tem faces retangulares). Em geral:
- As faces de um paralelepípedo não são polígonos regulares (retângulos só são regulares se forem quadrados).
- Mesmo que todas as faces sejam congruentes (por exemplo, um paralelepípedo retângulo com faces iguais em pares), a forma das faces (paralelogramos ou retângulos diferentes de quadrados) não é necessariamente regular.
- Além disso, a condição de mesmo número de faces em cada vértice é satisfeita, mas a regularidade das faces falha salvo no caso especial em que o paralelepípedo é um cubo.
Portanto, o termo “paralelepípedo” refere-se a uma família de sólidos que, em geral, não são regulares. Apenas um caso especial dessa família — o cubo — é sólido de Platão. Como a alternativa A já é o “cubo” explicitamente, a alternativa D (paralelepípedo, em sentido geral) não é um sólido de Platão.
Passo 5
(Aqui um pequeno adicional conceitual — opcional, para fixar por que só existem cinco Platônicos.) Suponha que cada face seja um polígono regular de
p
lados e que em cada vértice se encontrem
q
faces. Usando contagens de arestas e vértices e a fórmula de Euler podemos obter uma restrição que limita os pares
. As contas-chave são:
Substituindo
e
na fórmula de Euler e simplificando obtemos uma desigualdade que leva a poucas soluções inteiras possíveis para
, que correspondem exatamente aos cinco sólidos listados acima. Isso explica formalmente por que não existem outros sólidos de Platão além dos cinco citados.
Passo 6
Conclusão direta para a questão: entre as alternativas, a única que NÃO é, em geral, um sólido de Platão é o paralelepípedo (alternativa D). Seja otimista: você já entendeu a definição e viu por que só existem cinco — isso resolve muitas questões desse tipo!
Resposta
D