Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais autônomas e análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio. Precisamos identificar os pontos onde dydt = 0 e ver para onde as soluções se dirigem conforme t cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação, ou seja, os valores de y que fazem dydt = 0. Vamos igualar a equação a zero:
-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2) = 0
Isso nos dá três fatores:
  1. -y = 0 Rightarrow y = 0
  2. (y - a) = 0 Rightarrow y = a
  3. (y^2 + 2 a y + a^2) = 0
Vamos resolver cada um deles.

Passo 3

Resolvendo a terceira equação:
y^2 + 2 a y + a^2 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
y = -2a pm raiz(2a)^2 - 4 cdot 1 cdot a^22 = -2a pm raiz4a^2 - 4a^22 = -2a2 = -a
Então, temos que y = -a é uma raiz dupla.
Portanto, os pontos de equilíbrio são:
  • y = -a
  • y = 0
  • y = a

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos. Para isso, vamos observar o sinal de dydt em torno de cada ponto de equilíbrio.
  1. Para y > a:
    • Todos os fatores: -y (negativo), (y - a) (positivo), (y^2 + 2 a y + a^2) (positivo, já que é uma soma de quadrados).
    • Então, $\frac{dy}{dt} = $ negativo.
  2. Para dydt = :
    • 0 < y < a (negativo), -y (negativo), (y - a) (positivo).
    • Dois negativos multiplicados dão positivo, então $\frac{dy}{dt} = $ positivo.
  3. Para (y^2 + 2 a y + a^2):
    • dydt = (positivo), -a < y < 0 (negativo), -y (positivo).
    • Um positivo e um negativo multiplicados dão negativo, então $\frac{dy}{dt} = $ negativo.
  4. Para (y - a):
    • (y^2 + 2 a y + a^2) (positivo), dydt = (negativo), y < -a (positivo).
    • Mesmo que -y, o termo (y - a) ainda é positivo.
    • Então, $\frac{dy}{dt} = $ negativo.

Passo 5

Com base nisso, podemos deduzir o comportamento das soluções conforme t +infty:
  • Se y0 > a ou y0 < -a: dydt é negativo, então y(t) tende a -infty ou +infty dependendo do lado.
  • Se 0 < y0 < a: dydt é positivo, então y(t) aumenta até se aproximar de a.
  • Se -a < y0 < 0: dydt é negativo, então y(t) diminui até se aproximar de -a.
  • Se y0 = 0, y0 = a ou y0 = -a: São soluções estacionárias.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas:
  • A alternativa b descreve corretamente o comportamento:
    • Se -a < y0 < 0: Solução se aproxima de -a.
    • Se 0 < y0 < a: Solução se aproxima de a.
    • Se y0 > a ou y0 < -a: |y(t)| +infty.

Resposta

A alternativa b está correta.

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