Qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial y^prime=1 /(y^2-x^2), y(x0)=y0; tem uma única solução.
(a) y0 neq|x0| ou y0 neq-|x0|.
c. y0 >=|x0| ou y0 <=-|x0|.
(e) y0 >= x0.
b] nenhuma das demais alternativas
[] y0>|x0| ou y0<-|x0|
(f) x0>|y0| ou x0<-|y0|.

Passo 1

O enunciado pede para identificar os pontos (x0,y0) em que o PVI y'=1/(y^2-x^2),;y(x0)=y0 tem existência e unicidade de solução local. O conteúdo envolvido é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem, que exige que f(x,y) e partial f/partial y sejam contínuas num retângulo ao redor de (x0,y0).

Passo 2

Identificamos f(x,y)=1/(y^2 - x^2). Para que f seja contínua em (x0,y0), precisamos ter o denominador não nulo, ou seja, y0^2 - x0^2 neq 0.

Passo 3

Calculamos também partial fpartial y = -2y/(y^2 - x^2)^2, que é contínua sempre que y^2 - x^2 neq 0.

Passo 4

Logo, a única condição para garantir existência e unicidade é impedir que y0^2 - x0^2 = 0, ou seja, y0 neq x0 e y0 neq -x0.

Passo 5

Nenhuma das alternativas apresentadas descreve exatamente o conjunto (x0,y0):y0neqpm x0. Por isso, a resposta correta é a opção “nenhuma das demais alternativas”.

Resposta

b] nenhuma das demais alternativas

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