Qual das alternativas representa uma solução do problema y^prime=x^2 /(1+y^2).
(a) 3 y-y^3-x^3=1; desde que y pm 1
[d 3 y+y^3-x^3=1; desde que y neq-1
b) nenhuma das demais alternativas
c] 3 y+y^3-x^3=1; para qualquer y.
(e) 3 y+y^3-x^3=1; desde que y<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a ODE y'=x^21+y^2 por separação de variáveis e verificar qual alternativa implícita corresponde à solução geral com constante igual a 1.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y^2) e por dx:
(1+y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral(1+y^2),dy = integral x^2,dx

Passo 4

Calcule as integrais separadamente:
integral(1+y^2),dy = y + y^33,
integral x^2,dx = x^33

Passo 5

Assim obtemos
y + y^33 = x^33 + C

Passo 6

Multiplique tudo por 3 e chame K=3C:
3y + y^3 - x^3 = K

Passo 7

Para a constante igual a 1 temos
3y + y^3 - x^3 = 1

Passo 8

Verifique o domínio usando o teorema da função implícita:
partialpartial y(3y+y^3-x^3-1) = 3(1+y^2) > 0 forall y
Logo, a equação define implicitamente uma função y(x) para qualquer y.

Resposta

c) 3y + y^3 - x^3 = 1; para qualquer y.

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