Calcule a seguinte integral dupla:
integral1^3 integral1^5 ln (y)x y d x d y

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla integral1^3integral1^5ln(y)x,y,dx,dy. Trata-se de aplicar integrais iteradas usando a separação de variáveis no integrando e a propriedade de Fubini para trocar ou separar integrais.

Passo 2

Observando que ln(y)x,y = ln(y)ycdot1x, vemos que ln(y)y é constante em relação a x. Então a integral interna fica
integral1^51x,dx = ln(5)
Logo a integral dupla se reduz a
ln(5)integral1^3ln(y)y,dy .

Passo 3

Para calcular integral1^3ln(y)y,dy, usamos a primitiva
integralln(y)y,dy = 12l(ln(y)r)^2

Passo 4

Agora avaliamos de y=1 a y=3:
12l(ln(3)r)^2 - 12l(ln(1)r)^2 = 12l(ln(3)r)^2
Multiplicando por ln(5) concluímos que o valor da integral é 12ln(5),l(ln(3)r)^2.

Resposta

12ln(5),(ln(3))^2

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