Sobre a equação xydx+(2 x^2+3 y^2-20)dy=0; é correto afirmar que:
a Ela é exata e x^2 y^4+y^6-10 x^4=0 é uma solução
(b) Ela não é exata, mas possui fator integrante y^3 e x^2 y^4-y^6-10 y^4=0 é uma solução.
© Ela não é exata, mas possui fator integrante x^3 e x^2 y^4+y^6-10 x^4=0 é uma solução.
(d) Ela é exata e x^2 y^4+y^6-10 y^4=0 é uma solução.
(e) nenhuma das demais alternativas

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial x y,dx + (2x^2 + 3y^2 - 20),dy = 0. O objetivo é verificar se ela é exata; caso não, encontrar um fator integrante simples e, enfim, obter a solução geral. Para isso vamos usar a teoria de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x y e N(x,y)=2x^2 + 3y^2 - 20. Calculamos
partial Mpartial y = x, partial Npartial x = 4x
Como x neq 4x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Usamos a condição
partial Npartial x - partial Mpartial yM = 4x - xx y = 3y,
que depende apenas de y. Logo há um fator integrante mu(y)=expl(integral3/y,dyr)=y^3.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^3, obtendo
x y^4,dx + (2x^2y^3 +3y^5 -20y^3),dy=0,
que agora é exata. Seja Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = x y^4, partial Psipartial y = 2x^2y^3 +3y^5 -20y^3

Passo 5

Integramos Psix=x y^4 em relação a x:
Psi(x,y)=tfrac12x^2y^4 + h(y)
Depois igualamos Psiy a 2x^2y^3+3y^5-20y^3 para achar h'(y)=3y^5-20y^3. Integrando:
h(y)=tfrac12y^6 -5y^4+C

Passo 6

Portanto a solução implícita (multiplicada por 2 para simplificar) fica
x^2y^4 + y^6 -10y^4 = C',
o que não coincide com nenhuma das alternativas dadas.

Resposta

Alternativa (e)

Exercícios relacionados