Um alto falante é colocado entre dois observadores que estão separados por
de distância, ao longo da linha que os une. Se um observador mede um nível sonoro de
e o outro um nível sonoro de
, o quão longe está o alto falante de cada observador?
Passo 1
O enunciado nos dá três informações claras e pede as distâncias do alto falante até cada observador. Vou listar tudo bem organizado:
- Dois observadores estão alinhados com o alto falante entre eles e separados por
. - Um observador mede um nível sonoro de
. - O outro observador mede um nível sonoro de
. - Pergunta: qual é a distância do alto falante até cada observador? Ou seja, encontrar
(distância até o observador que ouviu ) e (distância até o observador que ouviu ).
Observação: o alto falante está entre os observadores, então
Passo 2
Conceito de nível sonoro (decibel) — a parte teórica que vamos usar:
- O nível sonoro
em decibéis é definido por
onde
é a intensidade sonora em
e
é a intensidade de referência (usualmente
). Aqui:
-
é o nível sonoro em decibéis ( ), -
é a intensidade recebida pelo observador, -
é uma constante de referência. - O que importa para nós é a diferença de níveis entre dois observadores: se
e são níveis medidos em dois locais, então
Isso elimina
e só depende da razão das intensidades.
Passo 3
Relação intensidade-distância (lei do inverso do quadrado):
- Para uma fonte pontual sonora em espaço livre, a intensidade
varia com a distância como
Isso significa que, para dois pontos a distâncias
e
,
Aqui explico: a energia sonora se espalha por uma superfície esférica cuja área cresce como
, então a mesma potência dividida por área dá intensidade proporcional a
.
Passo 4
Combinar as fórmulas para relacionar níveis sonoros com distâncias:
- Começo escrevendo a diferença de níveis entre o observador que mediu
e o que mediu :
- A diferença é
, então
- Dividindo por
e exponenciando:
- Usando a relação intensidade-distância,
Portanto
- Tirando raiz positiva (distâncias são positivas),
Isto diz: o observador que ouviu
está
vezes mais longe do alto falante do que o que ouviu
.
Passo 5
Montar e resolver o sistema para as distâncias:
- Das relações obtidas temos
e
- Substituindo a primeira na segunda:
- Somando:
- Isolando
:
- Então
Passo 6
Verificação rápida (checar se faz sentido):
- Razão das distâncias:
, bate com o que deduzimos. - Razão das intensidades:
, logo diferença de nível:
que é exatamente a diferença entre
e
. Tudo consistente.
Resposta
Observador que mediu
:
Observador que mediu :
Observador que mediu