Um alto falante é colocado entre dois observadores que estão separados por 110 m de distância, ao longo da linha que os une. Se um observador mede um nível sonoro de 60 d B e o outro um nível sonoro de 80.0 d B, o quão longe está o alto falante de cada observador?

Passo 1

O enunciado nos dá três informações claras e pede as distâncias do alto falante até cada observador. Vou listar tudo bem organizado:
  • Dois observadores estão alinhados com o alto falante entre eles e separados por 110\\ \mathrm{m}.
  • Um observador mede um nível sonoro de 60\\ \mathrm{dB}.
  • O outro observador mede um nível sonoro de 80,0\\ \mathrm{dB}.
  • Pergunta: qual é a distância do alto falante até cada observador? Ou seja, encontrar r_{60} (distância até o observador que ouviu 60\\ \mathrm{dB}) e r_{80} (distância até o observador que ouviu 80,0\\ \mathrm{dB}).
    Observação: o alto falante está entre os observadores, então
r_{60}+r_{80}=110\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito de nível sonoro (decibel) — a parte teórica que vamos usar:
  • O nível sonoro L em decibéis é definido por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I é a intensidade sonora em \mathrm{W/m^2} e I_0 é a intensidade de referência (usualmente I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}). Aqui:
  • L é o nível sonoro em decibéis ( \mathrm{dB}),
  • I é a intensidade recebida pelo observador,
  • I_0 é uma constante de referência.
  • O que importa para nós é a diferença de níveis entre dois observadores: se L_1 e L_2 são níveis medidos em dois locais, então
L_2-L_1 = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_2}{I_1}\right).
Isso elimina I_0 e só depende da razão das intensidades.

Passo 3

Relação intensidade-distância (lei do inverso do quadrado):
  • Para uma fonte pontual sonora em espaço livre, a intensidade I varia com a distância r como
I \propto \frac{1}{r^2}.
Isso significa que, para dois pontos a distâncias r_1 e r_2,
\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2.
Aqui explico: a energia sonora se espalha por uma superfície esférica cuja área cresce como 4\pi r^2, então a mesma potência dividida por área dá intensidade proporcional a 1/r^2.

Passo 4

Combinar as fórmulas para relacionar níveis sonoros com distâncias:
  • Começo escrevendo a diferença de níveis entre o observador que mediu 80,0\\ \mathrm{dB} e o que mediu 60\\ \mathrm{dB}:
80,0\\ \mathrm{dB} - 60\\ \mathrm{dB} = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_{80}}{I_{60}}\right).
  • A diferença é 20,0\\ \mathrm{dB}, então
20,0 = 10\log_{10}\!\left(\frac{I_{80}}{I_{60}}\right).
  • Dividindo por 10 e exponenciando:
\log_{10}\!\left(\frac{I_{80}}{I_{60}}\right) = 2,0 \quad\Rightarrow\quad \frac{I_{80}}{I_{60}} = 10^{2,0} = 100.
  • Usando a relação intensidade-distância,
\frac{I_{80}}{I_{60}} = \left(\frac{r_{60}}{r_{80}}\right)^2.
Portanto
\left(\frac{r_{60}}{r_{80}}\right)^2 = 100.
  • Tirando raiz positiva (distâncias são positivas),
\frac{r_{60}}{r_{80}} = 10.
Isto diz: o observador que ouviu 60\\ \mathrm{dB} está 10 vezes mais longe do alto falante do que o que ouviu 80,0\\ \mathrm{dB}.

Passo 5

Montar e resolver o sistema para as distâncias:
  • Das relações obtidas temos
r_{60} = 10\,r_{80}
e
r_{60}+r_{80}=110\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo a primeira na segunda:
10\,r_{80}+r_{80}=110\\ \mathrm{m}.
  • Somando:
11\,r_{80}=110\\ \mathrm{m}.
  • Isolando r_{80}:
r_{80}=\frac{110\\ \mathrm{m}}{11}=10\\ \mathrm{m}.
  • Então
r_{60}=10\,r_{80}=10\times 10\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida (checar se faz sentido):
  • Razão das distâncias: r_{60}/r_{80}=100/10=10, bate com o que deduzimos.
  • Razão das intensidades: (r_{60}/r_{80})^2=10^2=100, logo diferença de nível:
10\log_{10}(100)=10\times 2,0=20,0\\ \mathrm{dB},
que é exatamente a diferença entre 80,0\\ \mathrm{dB} e 60\\ \mathrm{dB}. Tudo consistente.

Resposta

Observador que mediu 60\\ \mathrm{dB}: 100\\ \mathrm{m}
Observador que mediu 80,0\\ \mathrm{dB}: 10\\ \mathrm{m}

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