Considere um capacitor de placas retangulares paralelas com a= 0,5 \mathrm{~cm} (largura) e \mathrm{b}=0,8 \mathrm{~cm} (altura) separadas por um distância de 0,2 \mathrm{~cm}. Qual o valor aproximado da capacitância se o meio entre as placas é vácuo \left(\varepsilon 0=8,9 \times 10^{\wedge}\{-12\} \mathrm{F} / \mathrm{m}\right) ? Considere \mathrm{p}=10^{\wedge}\{-12\}.
\bigcirc 0,3 \mathrm{pF}
\bigcirc 0,2 \mathrm{pF}
\bigcirc 0,5 \mathrm{pF}
\bigcirc 0,1 \mathrm{pF}

Passo 1

O enunciado pede o valor aproximado da capacitância de um capacitor de placas paralelas retangulares imerso em vácuo, e dá as seguintes informações:
a=0,5\\ \text{cm},\qquad b=0,8\\ \text{cm},\qquad d=0,2\\ \text{cm},
\varepsilon_0=8,9\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
e foi informado para usar p=10^{-12} (ou seja, 1\\ \text{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}). As alternativas possíveis são 0,3\\ \text{pF}, 0,2\\ \text{pF}, 0,5\\ \text{pF} e 0,1\\ \text{pF}.
A tarefa é calcular a capacitância aproximada e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula básica para capacitor de placas paralelas (vácuo, placas planas e próximas): a capacitância é dada por
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (unidade \mathrm{F/m});
  • A é a área de sobreposição das placas (unidade \mathrm{m}^2);
  • d é a separação entre as placas (unidade \mathrm{m}).
    Breve justificativa (didática): em vácuo o campo elétrico entre placas carregadas uniformemente vale E=\sigma/\varepsilon_0, a diferença de potencial entre placas é V=E d, a carga é Q=\sigma A; então C=Q/V=(\sigma A)/(\sigma d/\varepsilon_0)=\varepsilon_0 A/d. Aqui desprezamos efeitos de borda (fringing), que é razoável quando as dimensões laterais são muito maiores que d.

Passo 3

Converter todas as dimensões para o sistema internacional (metros):
a=0,5\\ \text{cm}=0,005\\ \mathrm{m},
b=0,8\\ \text{cm}=0,008\\ \mathrm{m},
d=0,2\\ \text{cm}=0,002\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área A das placas (retângulo):
A=a\cdot b=0,005\\ \mathrm{m}\times 0,008\\ \mathrm{m}=0,00004\\ \mathrm{m}^2=4\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular passo a passo:
\varepsilon_0 A = 8,9\times10^{-12}\cdot 4\times10^{-5}=35,6\times10^{-17}=3,56\times10^{-16}.
Agora dividir por d:
C=\frac{3,56\times10^{-16}}{2\times10^{-3}}=1,78\times10^{-13}\\ \mathrm{F}.
Observação sobre os expoentes: dividir por 2\times10^{-3} é o mesmo que multiplicar por 0,5\times10^{3} no fator numérico, ou simplesmente subtrair os expoentes: -16 -(-3) = -13.

Passo 6

Converter para picofarads usando 1\\ \text{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}:
C=1,78\times10^{-13}\\ \mathrm{F}=0,178\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=0,178\\ \text{pF}\approx 0,18\\ \text{pF}.
Arredondando para a precisão das alternativas, isso corresponde a 0,2\\ \text{pF}.

Passo 7

Comparando com as opções fornecidas, a alternativa mais próxima é 0,2\\ \text{pF}. Dá para confiar nesse valor porque desprezamos pequenas correções de borda que só aumentariam um pouco a capacitância; ainda assim o valor continua próximo de 0,18\\ \text{pF}.

Resposta

0,2\\ \mathrm{pF}

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