Um alto-falante, posicionado sobre um poste alto, emite ondas sonoras igualmente em todas as direções.
Considere a escala de decibéis dada por
\beta=(10 \mathrm{~dB}) \log _{10}\left(\frac{I}{I_{0}}\right)
e o limiar de audição
I_{0}=1.0 \times 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}
a) Em um ponto que dista r da fonte, o nível de intensidade sonora é de 90 dB . Qual é a intensidade sonora I correspondente a essa distância r ?
b) Se a potência do som na saída do alto-falante é 5,0 \mathrm{~W}, quanto vale a distância r ?
c) Que nível de intensidade sonora seria ouvido se, a uma determinada distância, I fosse igual a 10^{-7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ?

Passo 1

Dados fornecidos e o que nos pediram:
  • A escala de decibéis é dada por \beta=(10\\ \mathrm{dB})\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right).
  • O limiar de audição é \displaystyle I_{0}=1{,}0\times 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • (a) Em um ponto a uma distância r da fonte, o nível é \beta=90\\ \mathrm{dB}. Perguntam: qual é a intensidade sonora I nesse ponto?
  • (b) A potência emitida pelo alto-falante é P=5{,}0\\ \mathrm{W}. Perguntam: qual é a distância r correspondente à intensidade do item (a)?
  • (c) Se, em certa distância, a intensidade for I=10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, qual nível \beta será ouvido?

Passo 2

Entendendo e invertendo a fórmula dos decibéis para achar I.
A fórmula dada relaciona o nível sonoro \beta com a intensidade I e o limiar I_{0}. Aqui:
  • \beta é o nível em decibéis ( \mathrm{dB}).
  • I é a intensidade sonora no ponto (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
  • I_{0} é a intensidade de referência ( 1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
Para obter I a partir de \beta fazemos álgebra com logaritmo:
\beta=(10\\ \mathrm{dB})\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right).
Dividindo ambos os lados por 10\\ \mathrm{dB} (o fator \mathrm{dB} é só unidade) obtemos
\frac{\beta}{10}=\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right).
Agora aplicamos a operação inversa do logaritmo: elevar 10 ao lado direito:
\frac{I}{I_{0}}=10^{\beta/10}.
Finalmente:
I = I_{0}\,10^{\beta/10}.
Essa é a fórmula que usaremos para o item (a).

Passo 3

Calculando I para \beta=90\\ \mathrm{dB}.
Usando a fórmula \displaystyle I = I_{0}\,10^{\beta/10} e substituindo \beta=90\\ \mathrm{dB} e I_{0}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}:
I = \left(1{,}0\times10^{-12}\right)\,10^{90/10}.
Como \displaystyle \frac{90}{10}=9 e 10^{9}=1{,}0\times10^{9}, temos
I = 1{,}0\times10^{-12}\times 1{,}0\times10^{9}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Portanto, a intensidade correspondente a 90\\ \mathrm{dB} é \displaystyle 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Ligando intensidade I e distância r quando a fonte é isotrópica (irradia igualmente em todas as direções).
Se a potência total emitida é P e a radiação é igualmente em todas as direções, a energia por segundo (potência) que passa por uma superfície esférica de raio r está distribuída pela área dessa esfera. A área de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}. Intensidade é potência por unidade de área, então:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • P é a potência total emitida ( \mathrm{W}),
  • r é a distância até a fonte ( \mathrm{m}),
  • I é a intensidade nessa distância ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
Para achar r isolamos na fórmula:
r=\sqrt{\frac{P}{4\pi I}}.

Passo 5

Calculando r com P=5{,}0\\ \mathrm{W} e I obtido no passo 3.
Substituindo P=5{,}0\\ \mathrm{W} e I=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} em
\displaystyle r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}}:
r=\sqrt{\dfrac{5{,}0}{4\pi\left(1{,}0\times10^{-3}\right)}}.
Calculemos dentro da raiz:
4\pi\left(1{,}0\times10^{-3}\right)=4\pi\times10^{-3}\approx 0{,}0125664.
Então
\frac{5{,}0}{0{,}0125664}\approx 397{,}887.
Tomando a raiz quadrada:
r\approx\sqrt{397{,}887}\approx 19{,}95\\ \mathrm{m}.
Arredondando, a distância r é aproximadamente 20{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculando o nível \beta quando I=10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Usamos a fórmula original \displaystyle \beta=(10\\ \mathrm{dB})\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_{0}}\right). Substituindo I=10^{-7} e I_{0}=1{,}0\times10^{-12}:
\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{10^{-7}}{1{,}0\times10^{-12}}\right).
O quociente dentro do logaritmo é
\frac{10^{-7}}{1{,}0\times10^{-12}}=10^{5}.
Portanto
\beta=10\log_{10}\!(10^{5})=10\times 5=50\\ \mathrm{dB}.

Resposta

a) I=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
b) r\approx19{,}95\\ \mathrm{m} (aprox. 20{,}0\\ \mathrm{m})
c) \beta=50\\ \mathrm{dB}

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