Dadas as seguintes funções, aplique o procedimento de linearização log vs log, e mostre que as novas funções são lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
y(x)=A x^{k}

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=A x^{k} e pede para aplicar o procedimento de linearização log vs log, mostrar que a função transformada é linear e identificar o coeficiente angular (inclinação) e o coeficiente linear (intercepto).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias para a transformação: A e x devem ser estritamente positivos para que os logaritmos estejam definidos ( A>0 e x>0). Nada mais foi pedido.

Passo 2

Recapitulando as propriedades de logaritmos que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para quaisquer u>0 e v>0 vale \log(uv)=\log u+\log v.
  • Para qualquer u>0 e número real r vale \log(u^{r})=r\log u.
    Aqui \log pode ser o logaritmo natural \ln ou o logaritmo decimal \log_{10}; as propriedades acima valem para qualquer base de log. Essas regras são a ferramenta que transforma potências em produtos/somas, que geram linearidade.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo (escolho \ln por conveniência, mas o raciocínio é idêntico com \log_{10}). Começamos tomando logaritmo em ambos os lados de y(x)=A x^{k}. Coloco a igualdade como fórmula isolada:
y = A x^{k}

Passo 4

Agora aplico \ln em cada membro e uso as propriedades do passo anterior. Primeiro escrevo a operação:
\ln y = \ln\bigl(A x^{k}\bigr)
Usando \ln(uv)=\ln u+\ln v com u=A e v=x^{k},
\ln y = \ln A + \ln\bigl(x^{k}\bigr).
Agora uso \ln\bigl(x^{k}\bigr)=k\ln x, obtendo a forma linear:
\ln y = \ln A + k\,\ln x.

Passo 5

Interpretação como reta: se definirmos as variáveis transformadas
X := \ln x \quad\text{e}\quad Y := \ln y,
a equação do passo anterior fica
Y = k\,X + \ln A,
que é exatamente a equação de uma reta no plano (X,Y), da forma Y = mX + b.

Passo 6

Identificação dos coeficientes (explicando o que são):
  • O coeficiente angular (inclinação) é o número que multiplica X na reta; aqui é m=k. Ou seja, a inclinação da reta no gráfico \ln y versus \ln x é \,k.
  • O coeficiente linear (intercepto) é o valor de Y quando X=0; aqui é b=\ln A. Ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo \ln y é \ln A.

Passo 7

Observações importantes e dicas de prova (para não tropeçar):
  • Se no enunciado usarem log base 10, o desenvolvimento dá \log y = \log A + k\log x; então a inclinação continua sendo k e o intercepto \log A.
  • Sempre verifique que A>0 e x>0 antes de aplicar log. Se A for negativo a forma Ax^{k} não é positiva para todos x e não dá para aplicar log diretamente.
  • Na prática de prova, ao receber dados experimentais que obedecem uma lei potência, plote \log y vs \log x: se os pontos se alinharem, a inclinação da reta ajustada é k e o intercepto dá \log A.

Resposta

\ln y = \ln A + k\ln x \Rightarrow coeficiente angular =k, coeficiente linear =\ln A
\log y = \log A + k\log x \Rightarrow coeficiente angular =k, coeficiente linear =\log A

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