Uma barra delgada, não-homogênea, está orientada ao longo do eixo
, com uma extremidade na origem, e seu comprimento vale
. A densidade linear de massa, não-uniforme, é dada por
em unidades do S.I. Determine a massa total e a coordenada
do centro de massa desta barra.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a massa total da barra.
- Determinar a coordenada
do centro de massa da barra.
Informações dadas que vamos usar:
é a densidade linear em unidades do S.I. (logo
tem unidades de
),
a barra está sobre o eixo com uma extremidade em
e comprimento
.
Não há outras informações ocultas nem ambiguidade no enunciado.
a barra está sobre o eixo
Não há outras informações ocultas nem ambiguidade no enunciado.
Passo 2
Primeiro converto o comprimento para o sistema S.I., porque a densidade foi dada em S.I.:
Vou trabalhar com
em metros, no intervalo
.
Passo 3
Fórmula para a massa total: a massa é a integral da densidade linear ao longo da barra. Ou seja,
Aqui
é a massa por unidade de comprimento em
,
é um pequeno trecho de comprimento em metros, e a integral soma a massa desses trechos.
Passo 4
Substituo
e calculo a integral termo a termo:
Antiderivada de
em relação a
é
. Antiderivada de
é
. Assim,
Agora avalio em
. Primeiro
dá
. Depois
. Então
Calculo
. Portanto
Passo 5
Fórmula para a coordenada do centro de massa em uma dimensão: é a média ponderada pela massa,
Aqui
tem unidade de metros; o numerador é o momento estático (soma de
vezes massa elemental) e o denominador é a massa total já calculada.
Passo 6
Calculo o numerador:
Multiplico e integro termo a termo:
Note que
, então a antiderivada simplifica para
. Avaliando em
:
e
. Assim
Passo 7
Agora divido pelo valor da massa para obter
:
Faço a divisão aproximada:
Convertendo para centímetros (opcional, para ficar no mesmo aspecto do enunciado):
É sempre bom checar: como
decresce com
(termo
), o centro de massa deve ficar à esquerda do meio geométrico
. Obtivemos
, que está de fato um pouco à esquerda, o que faz sentido físico.