Uma barra delgada, não-homogênea, está orientada ao longo do eixo o x, com uma extremidade na origem, e seu comprimento vale 30,0 \mathrm{~cm}. A densidade linear de massa, não-uniforme, é dada por \lambda=1,0-2,0 x^{2} em unidades do S.I. Determine a massa total e a coordenada x do centro de massa desta barra.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a massa total da barra.
  2. Determinar a coordenada x do centro de massa da barra.
Informações dadas que vamos usar:
\lambda(x)=1,0-2,0\,x^{2}
é a densidade linear em unidades do S.I. (logo \lambda tem unidades de \mathrm{kg}/\mathrm{m}),
a barra está sobre o eixo o x com uma extremidade em x=0 e comprimento 30,0\\ \mathrm{cm}.
Não há outras informações ocultas nem ambiguidade no enunciado.

Passo 2

Primeiro converto o comprimento para o sistema S.I., porque a densidade foi dada em S.I.:
L=30{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Vou trabalhar com x em metros, no intervalo 0\le x\le 0{,}30.

Passo 3

Fórmula para a massa total: a massa é a integral da densidade linear ao longo da barra. Ou seja,
m=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,dx.
Aqui \lambda(x) é a massa por unidade de comprimento em \mathrm{kg}/\mathrm{m}, dx é um pequeno trecho de comprimento em metros, e a integral soma a massa desses trechos.

Passo 4

Substituo \lambda(x) e calculo a integral termo a termo:
m=\int_{0}^{0{,}30}\bigl(1{,}0-2{,}0\,x^{2}\bigr)\,dx.
Antiderivada de 1{,}0 em relação a x é x. Antiderivada de -2{,}0\,x^{2} é -2{,}0\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{2{,}0}{3}x^{3}. Assim,
m=\left[x-\frac{2{,}0}{3}x^{3}\right]_{0}^{0{,}30}.
Agora avalio em x=0{,}30. Primeiro x=0{,}30 0{,}30. Depois x^{3}=(0{,}30)^{3}=0{,}027. Então
m=0{,}30-\frac{2{,}0}{3}\cdot0{,}027.
Calculo \frac{2{,}0}{3}\cdot0{,}027=\frac{0{,}054}{3}=0{,}018. Portanto
m=0{,}30-0{,}018=0{,}282\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Fórmula para a coordenada do centro de massa em uma dimensão: é a média ponderada pela massa,
\bar{x}=\frac{1}{m}\int_{0}^{L}x\,\lambda(x)\,dx.
Aqui \bar{x} tem unidade de metros; o numerador é o momento estático (soma de x vezes massa elemental) e o denominador é a massa total já calculada.

Passo 6

Calculo o numerador:
\int_{0}^{0{,}30}x\,\lambda(x)\,dx=\int_{0}^{0{,}30}x\bigl(1{,}0-2{,}0\,x^{2}\bigr)\,dx.
Multiplico e integro termo a termo:
\int_{0}^{0{,}30}(x-2{,}0\,x^{3})\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2{,}0\cdot\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{0{,}30}.
Note que 2{,}0\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{2{,}0}{4}x^{4}=\frac{x^{4}}{2}, então a antiderivada simplifica para \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{2}=\frac{1}{2}(x^{2}-x^{4}). Avaliando em x=0{,}30: x^{2}=(0{,}30)^{2}=0{,}09 e x^{4}=(0{,}30)^{4}=0{,}0081. Assim
\int_{0}^{0{,}30}x\,\lambda(x)\,dx=\frac{1}{2}\bigl(0{,}09-0{,}0081\bigr)=\frac{1}{2}\cdot0{,}0819=0{,}04095\\ \mathrm{kg\cdot m}.

Passo 7

Agora divido pelo valor da massa para obter \bar{x}:
\bar{x}=\frac{0{,}04095}{0{,}282}\\ \mathrm{m}.
Faço a divisão aproximada:
\bar{x}\approx0{,}1452\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros (opcional, para ficar no mesmo aspecto do enunciado):
\bar{x}\approx14{,}52\\ \mathrm{cm}.
É sempre bom checar: como \lambda(x) decresce com x (termo -2{,}0x^{2}), o centro de massa deve ficar à esquerda do meio geométrico L/2=0{,}15\\ \mathrm{m}. Obtivemos \bar{x}\approx0{,}1452\\ \mathrm{m}, que está de fato um pouco à esquerda, o que faz sentido físico.

Resposta

m=0{,}282\\ \mathrm{kg}
\bar{x}=0{,}1452\\ \mathrm{m} (ou \bar{x}\approx14{,}52\\ \mathrm{cm})

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