Um alto falante produz um som com potência média de 100 W . Suponha que as frentes de onda se propaguem esfericamente em todas as direçōes a partir do alto falante.
a) Determine a intensidade (t) \mathrm{em} \mathrm{w} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{e} o nivel de intensidade sonora (\beta) \mathrm{em} \mathrm{dB}, percebido a 3 m de distância do alto falante.
b) Sabe-se que o timpano de uma pessoa adulta tem formato circular de diâmetro 7,0 \mathrm{~mm}. Qual é a potència média \left(P_{m}\right) fornecida para o tímpano?
c) Para um som típico com frequência de \mathbf{3 0 0} \mathbf{~ H z}, calcule a amplitude ( A ) dessas ondas sonoras (que é a amplitude de deslocamento das moléculas de ar próximas ao tímpano).
Dados: velocidade do som no ar \mathbf{e} 344 \mathbf{~ m} / \mathbf{s ~ e m} temperatura ambiente, a densidade do ar em condiçöes normais é de \mathbf{1 , 2 3} \mathbf{~ k g} / \mathbf{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado a seguir.
Dados fornecidos:
P_{\text{fonte}} = 100\\ \mathrm{W},\qquad r=3{,}0\\ \mathrm{m},
\text{diâmetro do tímpano } d=7{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad c=344\\ \mathrm{m/s},âí
\rho_{\text{ar}}=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad f=300\\ \mathrm{Hz}.
O que o problema pede:
a) A intensidade sonora I em \mathrm{W/m^2} e o nível de intensidade sonora \beta em \mathrm{dB} percebidos a r=3{,}0\\ \mathrm{m} do alto‑falante.
b) A potência média P_m entregue ao tímpano (usar a intensidade no ponto do tímpano).
c) Para f=300\\ \mathrm{Hz}, a amplitude de deslocamento A das moléculas de ar próximas ao tímpano.
Observação: usarei como referência de intensidade sonora I_0=1\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} (valor padrão).

Passo 2

Calcular a intensidade sonora a r=3{,}0\\ \mathrm{m}.
Conceito: para uma fonte que irradia de forma aproximadamente esférica, a potência total P se distribui sobre a área da esfera de raio r, que é 4\pi r^2. A intensidade média (potência por unidade de área) é
I=\frac{P}{4\pi r^2}.
Aplicando os números:
4\pi r^2 = 4\pi(3{,}0)^2 = 4\pi\cdot 9 = 36\pi.
I=\frac{100}{36\pi}\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora calculamos numericamente: 36\pi\approx 113{,}097, então
I\approx\frac{100}{113{,}097}\approx 0{,}884\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação: isso significa que, a 3 m, cada metro quadrado “recebe” em média 0{,}884\\ \mathrm{W} dessa fonte (valor bem alto — som muito intenso).

Passo 3

Calcular o nível de intensidade sonora \beta em decibéis.
Conceito: o nível de intensidade sonora em decibéis é definido por
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right),
onde I_0=1\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} é a intensidade de referência (limiar de audição).
Substituindo:
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{0{,}884}{1\times10^{-12}}\right) =10\big(\log_{10}(0{,}884)+\log_{10}(10^{12})\big).
\log_{10}(0{,}884)\approx -0{,}0530 e \log_{10}(10^{12})=12. Logo
\beta \approx 10( -0{,}0530 + 12)=10(11{,}947)\approx 119{,}47\\ \mathrm{dB}.
Arredondando com sentido prático, \beta\approx 119{,}5\\ \mathrm{dB}. Comentário amigo: isso é MUITO alto (perigoso para audição se a exposição for prolongada).

Passo 4

Calcular a área do tímpano (potência incidente será intensidade × área).
Transformação de unidades e fórmula da área de um círculo: raio r_t=\dfrac{d}{2}. Com d=7{,}0\\ \mathrm{mm}=7{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
r_t = \frac{7{,}0\times10^{-3}}{2}=3{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A área do tímpano é
A_{\text{tímpano}}=\pi r_t^2 = \pi(3{,}5\times10^{-3})^2.í
Calculemos:
(3{,}5\times10^{-3})^2=12{,}25\times10^{-6}=1{,}225\times10^{-5},
A_{\text{tímpano}}=\pi\cdot 1{,}225\times10^{-5}\approx 3{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.í

Passo 5

Calcular a potência média P_m fornecida ao tímpano.
Conceito: potência incidente sobre uma superfície pequena é intensidade local multiplicada pela área da superfície (assumindo incidência aproximadamente normal e que a área é pequena comparada à distância).
P_m = I\cdot A_{\text{tímpano}}.í
Substituindo valores:
P_m \approx 0{,}884\cdot 3{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{W}.
Multiplicando:
P_m \approx 3{,}40\times10^{-5}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: apesar da fonte ser de 100\\ \mathrm{W}, apenas algumas dezenas de microwatts chegam ao tímpano — faz sentido porque o tímpano é muito pequeno.

Passo 6

Relacionar intensidade I com a amplitude de deslocamento A para uma onda sonora harmônica.
Teoria didática: para uma onda sonora progressiva (aproximável localmente por uma onda plana), a intensidade média está ligada à amplitude de deslocamento A por
I = \frac{1}{2}\,\rho\,c\,\omega^2 A^2,
onde:
  • \rho é a densidade do meio (aqui \rho_{\text{ar}}=1{,}23\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • c é a velocidade do som ( 344\\ \mathrm{m/s}),
  • \omega é a frequência angular da onda, \omega = 2\pi f, com f em Hz,
  • A é a amplitude do deslocamento (em metros).
Derivação curta (intuição): a velocidade das partículas é u_{\max}=A\omega; a energia cinética média transportada é proporcional a \rho u_{\max}^2 e multiplica‑se por c para obter fluxo de energia, resultando na fórmula acima (o fator 1/2 vem da média temporal de um quadrado de seno/cosseno).

Passo 7

Calcular \omega e montar a equação para A.
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 300 = 600\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 1884{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Isolando A em
I = \frac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2,
temos
A = \sqrt{\frac{2I}{\rho c \omega^2}}.

Passo 8

Substituir números e calcular A.
Primeiro calculamos o denominador:
\omega^2 \approx (1884{,}0)^2 = 3{,}549{,}456\\ \mathrm{(rad/s)^2}.
\rho c \omega^2 \approx 1{,}23\cdot 344\cdot 3{,}549{,}456 \approx 1{,}501{,}845{,}823\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}).
Agora o numerador 2I = 2\cdot 0{,}884 = 1{,}768. Logo
A = \sqrt{\frac{1{,}768}{1{,}501{,}845{,}823}}\\ \mathrm{m}.
Calculando:
A \approx \sqrt{1{,}1768\times10^{-9}}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}43\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros: A\approx 34{,}3\\ \mu\mathrm{m}.
Observação prática: também podemos obter A passando primeiro pela pressão sonora de pico p_{\max}=\sqrt{2\rho c I} e usando p_{\max}=\rho c \omega A; os resultados coincidem (verificação rápida na derivação).

Resposta

a) I\approx 0{,}884\\ \mathrm{W/m^2},\\ \beta\approx 119{,}5\\ \mathrm{dB}
b) P_m\approx 3{,}40\times10^{-5}\\ \mathrm{W}
c) A\approx 3{,}43\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (aprox. 34{,}3\\ \mu\mathrm{m})

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