Um alto falante produz um som com potência média de \mathbf{2 0 0} \mathbf{~ W}. Suponha que as frentes de onda se propaguem esfericamente em todas as direções a partir do alto falante.
a) Determine a intensidade ( I ) e o nível de intensidade sonora (\beta) percebida a \mathbf{5 m} de distância do alto falante.
b) Sabe-se que o tímpano de uma pessoa adulta tem formato circular de diâmetro \mathbf{7 , 0 ~ m m}. Qual é a potência média \left(P_{m}\right) fornecida para o tímpano?
c) Para um som típico com frequência de \mathbf{3 0 0 ~ H z}, calcule a amplitude ( A ) dessas ondas sonoras (que é a amplitude de deslocamento das moléculas de ar).
Dados: velocidade do som no ar é \mathbf{3 4 4 ~ m} / \mathbf{s} em temperatura de \mathbf{2 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}, a massa molecular do ar é de \mathbf{2 8 , 8} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}} \mathbf{~ k g} / \mathbf{m o l}, a pressão do ar é \mathbf{1 , 0 1 3} \times \mathbf{1 0}^{\mathbf{5}} \mathrm{Pa} e a constante dos gases é \mathbf{8 , 3 1 5} J/mol.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos — assim a gente não se perde no desespero (tamo junto!).
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Determinar a intensidade I e o nível de intensidade sonora \beta a 5\\ \mathrm{m} do alto‑falante.
  2. (b) Calcular a potência média P_{m} entregue ao tímpano (diâmetro 7{,}0\\ \mathrm{mm}).
  3. (c) Para frequência 300\\ \mathrm{Hz}, calcular a amplitude de deslocamento A das moléculas de ar.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
P_{\text{fonte}} = 200\\ \mathrm{W}
r = 5\\ \mathrm{m}
\text{diâmetro do tímpano } d = 7{,}0\\ \mathrm{mm} = 7{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}âí
f = 300\\ \mathrm{Hz}
c = 344\\ \mathrm{m/s}
M = 28{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}
P_{\text{atm}} = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
R = 8{,}315\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
Temperatura indicada: 20^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T = 293\\ \mathrm{K}.
Observações importantes (só para deixar claro):
  • O enunciado diz que as frentes de onda se propagam esfericamente em todas as direções — então a potência total se espalha por uma esfera de área 4\pi r^2.
  • Para (c) vamos aproximar a onda localmente como uma onda plana harmônica para usar as fórmulas padrões que relacionam intensidade, pressão e amplitude de deslocamento. Vou explicar essas fórmulas quando chegar lá.

Passo 2

Calcular a intensidade I em r=5\\ \mathrm{m}.
Conceito rápido: intensidade média I é a potência que atravessa uma área por unidade de área. Para uma fonte isotrópica (esférica) com potência total P,
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
P = 200\\ \mathrm{W},\qquad r=5\\ \mathrm{m}.
Substituindo:
I(5)=\frac{200}{4\pi (5)^{2}}=\frac{200}{4\pi\cdot 25}=\frac{200}{100\pi}=\frac{2}{\pi}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Valor numérico:
I(5)\approx \frac{2}{3{,}1415927}\approx 0{,}63662\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Explicando: isso quer dizer que, em média, a cada metro quadrado a 5\\ \mathrm{m} do alto‑falante chegam 0{,}6366\\ \mathrm{W} de potência sonora — é bastante (coisa de som muito alto).

Passo 3

Calcular o nível de intensidade sonora \beta (em decibéis) a 5\\ \mathrm{m}.
Conceito: o nível de intensidade sonora \beta é dado por
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0}=1{,}0\times 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} é a intensidade de referência (limiar de audição).
Usando I(5)\approx 0{,}63662\\ \mathrm{W/m^{2}}:
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{0{,}63662}{1\times 10^{-12}}\right) =10\bigl(\log_{10}(0{,}63662)+12\bigr).
Calculando:
\log_{10}(0{,}63662)\approx -0{,}19612,
\beta \approx 10\cdot( -0{,}19612 + 12)=10\cdot 11{,}80388\approx 118{,}04\\ \mathrm{dB}.
Interpretação rápida: 118\\ \mathrm{dB} é extremamente alto (próximo ao limiar de dor), então é coerente com a potência grande de 200\\ \mathrm{W} irradiada isotropicamente.

Passo 4

Calcular a área do tímpano e a potência média P_{m} que chega nele.
O tímpano é aproximadamente circular com diâmetro d=7{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}. O raio é
r_{\text{t}}=\frac{d}{2}=3{,}5\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Área do tímpano:
A_{\text{t}}=\pi r_{\text{t}}^{2}=\pi (3{,}5\times 10^{-3})^{2} =\pi\cdot 12{,}25\times 10^{-6} =12{,}25\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Valor numérico:
A_{\text{t}}\approx 3{,}84845\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
A potência média que incide no tímpano é simplesmente intensidade vezes área (pressupondo que a pequena área intercepta a onda esférica localmente como um plano):
P_{m}=I(5)\,A_{\text{t}}.
Substituindo valores:
P_{m}\approx 0{,}63662\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 3{,}84845\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 2{,}44949\times 10^{-5}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: são cerca de 2{,}45\times 10^{-5}\\ \mathrm{W} (ou 24{,}5\\ \mu\mathrm{W}) entregues ao tímpano — pouca potência absoluta, apesar do nível sonoro alto.

Passo 5

Preparar o cálculo da amplitude A (deslocamento das moléculas de ar) para f=300\\ \mathrm{Hz}: precisamos da densidade do ar \rho e das relações entre intensidade, pressão acústica e deslocamento.
  1. Calcular a densidade do ar \rho pela equação dos gases ideais (massa molar M):
\rho = \frac{P_{\text{atm}}\,M}{R\,T}.
Substituindo os dados:
\rho = \frac{(1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa})\; (28{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol})}{8{,}315\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot 293\\ \mathrm{K}}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=1{,}013\times 10^{5}\times 28{,}8\times 10^{-3}\approx 2917{,}44.
\text{denominador}=8{,}315\times 293\approx 2436{,}295.
\rho\approx \frac{2917{,}44}{2436{,}295}\approx 1{,}1977\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  1. Relações físicas entre intensidade I, amplitude de deslocamento A, frequência e densidade:
Para uma onda sonora harmônica plana progressiva:
  • pulsação: \omega = 2\pi f.
  • amplitude da pressão acústica p_{m} e amplitude de deslocamento A estão relacionadas por
p_{m} = \rho\, c\, \omega\, A.
  • intensidade média I está relacionada à amplitude de pressão por
I = \frac{p_{m}^{2}}{2\rho c}.
Substituindo p_{m} na expressão de I resulta
I = \frac{1}{2}\,\rho\, c\, \omega^{2}\, A^{2}.
Isolando A:
A = \sqrt{\frac{2I}{\rho\, c\, \omega^{2}}}.
Explicando em palavras: a intensidade é proporcional à densidade, velocidade do som e ao quadrado da velocidade de partícula (que é \omega A), daí surgem os termos.

Passo 6

Calcular numericamente a amplitude A.
Primeiro a pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 300 = 600\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 1884{,}9556\\ \mathrm{rad/s}.
Já temos:
I\approx 0{,}63662\\ \mathrm{W/m^{2}},\quad \rho\approx 1{,}1977\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c=344\\ \mathrm{m/s}.
Aplicando a fórmula:
A = \sqrt{\frac{2I}{\rho\, c\, \omega^{2}}}.
Substituindo numericamente:
2I \approx 1{,}2732394,
\rho\,c\,\omega^{2}\approx 1{,}1977\times 344\times (1884{,}9556)^{2}\approx 1{,}46389\times 10^{9}.
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A \approx \sqrt{\frac{1{,}2732394}{1{,}46389\times 10^{9}}} \approx \sqrt{8{,}6957\times 10^{-10}} \approx 2{,}9492\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais intuitivas:
A\approx 2{,}95\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}=29{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação: as moléculas de ar oscilam com amplitude da ordem de algumas dezenas de micrômetros — pequeno, mas suficiente para gerar um som muito alto.

Resposta

(a) I(5\\ \mathrm{m})\approx 0{,}63662\\ \mathrm{W/m^{2}} e \beta\approx 118{,}04\\ \mathrm{dB}.\n(b) P_{m}\approx 2{,}44949\times 10^{-5}\\ \mathrm{W}.\n(c) A\approx 2{,}95\times 10^{-5}\\ \mathrm{m} (aprox. 29{,}5\\ \mu\mathrm{m}).

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