Um alto falante produz um som com potência média de
. Suponha que as frentes de onda se propaguem esfericamente em todas as direções a partir do alto falante.
a) Determine a intensidade (
) e o nível de intensidade sonora
percebida a
de distância do alto falante.
b) Sabe-se que o tímpano de uma pessoa adulta tem formato circular de diâmetro
. Qual é a potência média
fornecida para o tímpano?
c) Para um som típico com frequência de
, calcule a amplitude (
) dessas ondas sonoras (que é a amplitude de deslocamento das moléculas de ar).
Dados: velocidade do som no ar é
em temperatura de
, a massa molecular do ar é de
, a pressão do ar é
e a constante dos gases é
J/mol.
a) Determine a intensidade (
b) Sabe-se que o tímpano de uma pessoa adulta tem formato circular de diâmetro
c) Para um som típico com frequência de
Dados: velocidade do som no ar é
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos — assim a gente não se perde no desespero (tamo junto!).
Perguntas do enunciado:
- (a) Determinar a intensidade
e o nível de intensidade sonora a do alto‑falante. - (b) Calcular a potência média
entregue ao tímpano (diâmetro ). - (c) Para frequência
, calcular a amplitude de deslocamento das moléculas de ar.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Temperatura indicada:
.
Observações importantes (só para deixar claro):
- O enunciado diz que as frentes de onda se propagam esfericamente em todas as direções — então a potência total se espalha por uma esfera de área
. - Para (c) vamos aproximar a onda localmente como uma onda plana harmônica para usar as fórmulas padrões que relacionam intensidade, pressão e amplitude de deslocamento. Vou explicar essas fórmulas quando chegar lá.
Passo 2
Calcular a intensidade
em
.
Conceito rápido: intensidade média
é a potência que atravessa uma área por unidade de área. Para uma fonte isotrópica (esférica) com potência total
,
Aqui:
Substituindo:
Valor numérico:
Explicando: isso quer dizer que, em média, a cada metro quadrado a
do alto‑falante chegam
de potência sonora — é bastante (coisa de som muito alto).
Passo 3
Calcular o nível de intensidade sonora
(em decibéis) a
.
Conceito: o nível de intensidade sonora
é dado por
onde
é a intensidade de referência (limiar de audição).
Usando
:
Calculando:
Interpretação rápida:
é extremamente alto (próximo ao limiar de dor), então é coerente com a potência grande de
irradiada isotropicamente.
Passo 4
Calcular a área do tímpano e a potência média
que chega nele.
O tímpano é aproximadamente circular com diâmetro
. O raio é
Área do tímpano:
Valor numérico:
A potência média que incide no tímpano é simplesmente intensidade vezes área (pressupondo que a pequena área intercepta a onda esférica localmente como um plano):
Substituindo valores:
Interpretação: são cerca de
(ou
) entregues ao tímpano — pouca potência absoluta, apesar do nível sonoro alto.
Passo 5
Preparar o cálculo da amplitude
(deslocamento das moléculas de ar) para
: precisamos da densidade do ar
e das relações entre intensidade, pressão acústica e deslocamento.
- Calcular a densidade do ar
pela equação dos gases ideais (massa molar ):
Substituindo os dados:
Calculemos passo a passo:
- Relações físicas entre intensidade
, amplitude de deslocamento , frequência e densidade:
Para uma onda sonora harmônica plana progressiva:
- pulsação:
. - amplitude da pressão acústica
e amplitude de deslocamento estão relacionadas por
- intensidade média
está relacionada à amplitude de pressão por
Substituindo
na expressão de
resulta
Isolando
:
Explicando em palavras: a intensidade é proporcional à densidade, velocidade do som e ao quadrado da velocidade de partícula (que é
), daí surgem os termos.
Passo 6
Calcular numericamente a amplitude
.
Primeiro a pulsação:
Já temos:
Aplicando a fórmula:
Substituindo numericamente:
Logo
Convertendo para unidades mais intuitivas:
Interpretação: as moléculas de ar oscilam com amplitude da ordem de algumas dezenas de micrômetros — pequeno, mas suficiente para gerar um som muito alto.
Resposta
(a)
e
\n(b)
\n(c)
(aprox.
).