(Desafio) A potência ou taxa instantânea de transferência de energia de uma onda sonora em uma barra sólida é dada por:
onde
é a força transmitida a cada ponto da barra, dada pela relação
, com
sendo a área de seção da barra e
seu módulo de Young (o módulo de Young está relacionado à deformação do sólido, equivalente ao módulo de Bulk dos fluidos). Além disso,
é a velocidade de um ponto da barra quando a onda passa por esse ponto.
Sabe-se ainda que a função de onda do som que se propaga na barra pode ser dada por:
sendo a amplitude de onda propagante.
a) Ache uma relação que permita calcular a intensidade
da onda propagante nessa barra (lembre-se que
).
b) Assuma que
e ache a intensidade média (
) da onda propagante na barra em função de
e
.
Dica: lembre-se do valor médio de senos e cossenos ao quadrado em um intervalo de um ciclo.
OBS: A presente lista é apenas uma sugestão de estudo. Alguns assuntos abordados em questões dessa lista ainda serão discutidos na próxima aula, como energia e potência de uma onda e intensidade das ondas sonoras.
Bons estudos
Sabe-se ainda que a função de onda do som que se propaga na barra pode ser dada por:
a) Ache uma relação que permita calcular a intensidade
b) Assuma que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) A intensidade instantânea
da onda na barra, sabendo que e que a potência instantânea é
com
.
2. (b) A intensidade média em função de
, sabendo que a velocidade da onda é
e lembrando que a média temporal de
ou
em um ciclo é
.
2. (b) A intensidade média
Dados relevantes que temos:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas necessárias e explicar cada passo devagarinho.
A velocidade vertical de um ponto da barra é a derivada temporal da função de deslocamento:
Usando
e a regra da derivada de
(a derivada de
é
), obtemos
Como
, fica
Agora a derivada espacial necessária:
Como
, temos
Pequena verificação mental: ambas as derivadas têm
, o que é comum em ondas simples.
Passo 3
Substituímos
e
na expressão da potência:
Multiplicando os sinais e os termos:
Lembre que
. Substituindo:
Passo 4
Agora obtemos a intensidade instantânea
. Como
cancela:
Essa é a resposta da parte (a). Interpretação rápida: a intensidade instantânea varia no espaço e no tempo com
, os fatores
determinam a escala da energia transportada.
Passo 5
Para a parte (b) precisamos da intensidade média temporal
. Tomamos a média temporal de
a única parte que depende de
é
. A média temporal de
sobre um ciclo é
porque
e a média de
ao longo de um ciclo é zero.
Portanto a intensidade média é
Passo 6
Queremos expressar
em termos de
. Usamos a relação de velocidade de fase e número de onda:
Também foi dado
Substituindo em
:
Passo 7
Substituímos
em
:
Agora simplificamos a combinação
:
Logo o resultado final fica
Pequeno incentivo: chegamos ao resultado limpinho — a intensidade média cresce com
e com
, e envolve a raiz do produto
, que combina inércia (
) e rigidez (
) da barra.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)