(Desafio) A potência ou taxa instantânea de transferência de energia de uma onda sonora em uma barra sólida é dada por:
P(x, t)=-F v_{y}(x, t) \frac{\partial y(x, t)}{\partial x}
onde F é a força transmitida a cada ponto da barra, dada pela relação F=Y S, com S sendo a área de seção da barra e Y seu módulo de Young (o módulo de Young está relacionado à deformação do sólido, equivalente ao módulo de Bulk dos fluidos). Além disso, v_{y}(x, t) é a velocidade de um ponto da barra quando a onda passa por esse ponto.
Sabe-se ainda que a função de onda do som que se propaga na barra pode ser dada por:
y(x, y)=A \sin (k x-\omega t)
\operatorname{com} A sendo a amplitude de onda propagante.
a) Ache uma relação que permita calcular a intensidade I(x, t) da onda propagante nessa barra (lembre-se que I=P / S ).
b) Assuma que v=\sqrt{Y / \rho} e ache a intensidade média ( I_{\text {med }} ) da onda propagante na barra em função de \omega, A, \rho e Y.
Dica: lembre-se do valor médio de senos e cossenos ao quadrado em um intervalo de um ciclo.
OBS: A presente lista é apenas uma sugestão de estudo. Alguns assuntos abordados em questões dessa lista ainda serão discutidos na próxima aula, como energia e potência de uma onda e intensidade das ondas sonoras.
Bons estudos

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A intensidade instantânea \,I(x,t)\, da onda na barra, sabendo que \,I=P/S\, e que a potência instantânea é
P(x,t)=-F\,v_{y}(x,t)\,\frac{\partial y(x,t)}{\partial x},
com \,F=Y S\,.
2. (b) A intensidade média \,I_{\text{med}}\, em função de \,\omega, A, \rho, Y\,, sabendo que a velocidade da onda é \,v=\sqrt{Y/\rho}\, e lembrando que a média temporal de \sin^2 ou \cos^2 em um ciclo é \,1/2.
Dados relevantes que temos:
\;y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),\; \;F=Y S,\; \;I=P/S.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas necessárias e explicar cada passo devagarinho.
A velocidade vertical de um ponto da barra é a derivada temporal da função de deslocamento:
v_{y}(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}.
Usando \;y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)\; e a regra da derivada de \sin (a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'), obtemos
v_{y}(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\big[A\sin(kx-\omega t)\big] = A\cos(kx-\omega t)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(kx-\omega t).
Como \partial/\partial t (kx-\omega t)=-\omega, fica
v_{y}(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Agora a derivada espacial necessária:
\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\big[A\sin(kx-\omega t)\big] = A\cos(kx-\omega t)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(kx-\omega t).
Como \partial/\partial x (kx-\omega t)=k, temos
\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t).
Pequena verificação mental: ambas as derivadas têm \cos(kx-\omega t), o que é comum em ondas simples.

Passo 3

Substituímos \,v_{y}(x,t)\, e \,\partial y/\partial x\, na expressão da potência:
P(x,t)=-F\,v_{y}(x,t)\,\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} =-F\big(-A\omega\cos(kx-\omega t)\big)\big(Ak\cos(kx-\omega t)\big).
Multiplicando os sinais e os termos:
P(x,t)=F\,A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t).
Lembre que F=Y S. Substituindo:
P(x,t)=Y S\,A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t).

Passo 4

Agora obtemos a intensidade instantânea \,I(x,t)=P(x,t)/S. Como S cancela:
I(x,t)=\frac{P(x,t)}{S}=Y A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t).
Essa é a resposta da parte (a). Interpretação rápida: a intensidade instantânea varia no espaço e no tempo com \cos^2, os fatores Y, A^2, k, \omega determinam a escala da energia transportada.

Passo 5

Para a parte (b) precisamos da intensidade média temporal \,I_{\text{med}}\,. Tomamos a média temporal de \,I(x,t)\,; a única parte que depende de t é \cos^2(kx-\omega t). A média temporal de \cos^2 sobre um ciclo é
\langle \cos^2(\cdot)\rangle=\frac{1}{2},
porque \cos^2\theta=(1+\cos 2\theta)/2 e a média de \cos 2\theta ao longo de um ciclo é zero.
Portanto a intensidade média é
I_{\text{med}}=\big\langle I(x,t)\big\rangle = Y A^2 k \omega \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} Y A^2 k \omega.

Passo 6

Queremos expressar \,I_{\text{med}}\, em termos de \omega, A, \rho, Y. Usamos a relação de velocidade de fase e número de onda:
v=\frac{\omega}{k}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.
Também foi dado \;v=\sqrt{\dfrac{Y}{\rho}}\;. Substituindo em k:
k=\frac{\omega}{\sqrt{Y/\rho}}=\omega\sqrt{\frac{\rho}{Y}}.

Passo 7

Substituímos k em \,I_{\text{med}}=\tfrac{1}{2} Y A^2 k \omega:
I_{\text{med}}=\frac{1}{2} Y A^2 \big(\omega\sqrt{\tfrac{\rho}{Y}}\big)\omega =\frac{1}{2} Y A^2 \omega^2 \sqrt{\frac{\rho}{Y}}.
Agora simplificamos a combinação Y\sqrt{\rho/Y}:
Y\sqrt{\frac{\rho}{Y}}=\sqrt{Y}\sqrt{\rho}=\sqrt{\rho Y}.
Logo o resultado final fica
I_{\text{med}}=\frac{1}{2}A^2\omega^2\sqrt{\rho Y}.
Pequeno incentivo: chegamos ao resultado limpinho — a intensidade média cresce com A^2 e com \omega^2, e envolve a raiz do produto \rho Y, que combina inércia ( \rho) e rigidez ( Y) da barra.

Resposta

(a) I(x,t)=Y A^2 k \omega \cos^2(kx-\omega t)\n
(b) I_{\text{med}}=\dfrac{1}{2}A^2\omega^2\sqrt{\rho Y}

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