Do alto de uma torre de
de altura, lança-se verticalmente para baixo, um corpo com velocidade de
. Calcule a velocidade com que o corpo atinge o solo. Adote
e despreze os efeitos do ar.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Altura da torre:
(unidades assumidas como ). - Velocidade inicial do corpo, lançada verticalmente para baixo:
. - Aceleração da gravidade:
. - Despreza-se o efeito do ar.
Pergunta do enunciado: calcular a velocidade com que o corpo atinge o solo (ou seja, a velocidade final ao chegar ao chão).
Passo 2
Escolhemos uma convenção de sinais para facilitar as contas: tomamos a direção para baixo como positiva. Com isso, a velocidade inicial tem valor positivo
, a aceleração tem valor positivo
e o deslocamento vertical até o solo é
(positivo, porque é para baixo).
Agora usamos uma relação de movimento retilíneo uniformemente acelerado que liga velocidade inicial, velocidade final, aceleração e deslocamento sem precisar do tempo. Essa relação é obtida assim (mini-aula passo a passo):
- Partimos da definição de aceleração constante:
. Integrando no tempo obtemos a velocidade em função do tempo:
onde
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração (constante).
- A posição (deslocamento) em função do tempo é dada por integrar a velocidade:
onde
é o deslocamento acumulado.
- Para eliminar o tempo
e obter uma relação entre velocidades e deslocamento, isolamos em , obtendo , e substituímos em . Fazendo as contas (é um pouco de álgebra), chega-se à relação:
Aqui:
-
é a velocidade final que queremos, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração constante, -
é o deslocamento na direção escolhida.
Essa fórmula é muito útil na prova porque evita cálculo do tempo e funciona sempre que a aceleração é constante.
Passo 3
Aplicamos a fórmula
com os valores do enunciado:
-
, então . -
. -
.
Calculemos o termo
:
Somando com
:
Agora extraímos a raiz quadrada para obter
:
Como trabalhamos com unidades no SI, a unidade de velocidade é
. Portanto
.
Passo 4
Verificação rápida de plausibilidade: a velocidade inicial era
e, ao cair
sob
, faz sentido que a velocidade aumente bastante; o resultado
(cerca de
) é coerente com essa queda sem resistência do ar.
Boa! Consegue repetir esse raciocínio com outros números: sempre que vir um lançamento vertical com aceleração constante, use
para achar
sem calcular o tempo.