Do alto de uma torre de 61,6 \mathrm{n} de altura, lança-se verticalmente para baixo, um corpo com velocidade de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a velocidade com que o corpo atinge o solo. Adote \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze os efeitos do ar.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Altura da torre: \,61,6 (unidades assumidas como \mathrm{m}).
  • Velocidade inicial do corpo, lançada verticalmente para baixo: \,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Despreza-se o efeito do ar.
Pergunta do enunciado: calcular a velocidade com que o corpo atinge o solo (ou seja, a velocidade final ao chegar ao chão).

Passo 2

Escolhemos uma convenção de sinais para facilitar as contas: tomamos a direção para baixo como positiva. Com isso, a velocidade inicial tem valor positivo \,v_0=8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, a aceleração tem valor positivo \,a=g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e o deslocamento vertical até o solo é \,\Delta y=61,6\\ \mathrm{m} (positivo, porque é para baixo).
Agora usamos uma relação de movimento retilíneo uniformemente acelerado que liga velocidade inicial, velocidade final, aceleração e deslocamento sem precisar do tempo. Essa relação é obtida assim (mini-aula passo a passo):
  • Partimos da definição de aceleração constante: \,a=\dfrac{dv}{dt}. Integrando no tempo obtemos a velocidade em função do tempo:
v = v_0 + a t,
onde \,v é a velocidade no tempo t, \,v_0 é a velocidade inicial e \,a é a aceleração (constante).
  • A posição (deslocamento) em função do tempo é dada por integrar a velocidade:
\Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \,\Delta y é o deslocamento acumulado.
  • Para eliminar o tempo t e obter uma relação entre velocidades e deslocamento, isolamos t em v = v_0 + a t, obtendo \,t=\dfrac{v-v_0}{a}, e substituímos em \Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2. Fazendo as contas (é um pouco de álgebra), chega-se à relação:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
Aqui:
  • \,v é a velocidade final que queremos,
  • \,v_0 é a velocidade inicial,
  • \,a é a aceleração constante,
  • \,\Delta y é o deslocamento na direção escolhida.
Essa fórmula é muito útil na prova porque evita cálculo do tempo e funciona sempre que a aceleração é constante.

Passo 3

Aplicamos a fórmula \,v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y com os valores do enunciado:
  • \,v_0 = 8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, então \,v_0^2 = 8^2 = 64.
  • \,a = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • \,\Delta y = 61,6\\ \mathrm{m}.
Calculemos o termo 2 a \Delta y:
2 a \Delta y = 2 \cdot 10 \cdot 61,6 = 20 \cdot 61,6 = 1232.
Somando com v_0^2:
v^2 = 64 + 1232 = 1296.
Agora extraímos a raiz quadrada para obter v:
v = \sqrt{1296} = 36.
Como trabalhamos com unidades no SI, a unidade de velocidade é \mathrm{m}/\mathrm{s}. Portanto v = 36\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Verificação rápida de plausibilidade: a velocidade inicial era \,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e, ao cair \,61,6\\ \mathrm{m} sob \,g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, faz sentido que a velocidade aumente bastante; o resultado \,36\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (cerca de 130\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}) é coerente com essa queda sem resistência do ar.
Boa! Consegue repetir esse raciocínio com outros números: sempre que vir um lançamento vertical com aceleração constante, use \,v^2=v_0^2+2a\Delta y para achar v sem calcular o tempo.

Resposta

36\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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