Consideremos uma mola de constante elástica 400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e um corpo de massa 1 kg nela encostado que produz uma compressão de 0,8 \mathrm{~m}. Liberando a mola, qual é a velocidade do corpo no instante em que perde contato com ela? Despreze as forças de resistência.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do corpo no instante em que ele perde contato com a mola, dado que a mola tem constante elástica \,k=400\\ \mathrm{N/m}, a massa do corpo é \,m=1\\ \mathrm{kg} e a compressão inicial é \,x_0=0,8\\ \mathrm{m}. Também foi dito para desprezar forças de resistência. Essas são todas as informações relevantes.

Passo 2

Quando o corpo “perde contato” com a mola significa que a mola deixa de empurrá‑lo — ou seja, a força que a mola aplica no corpo se torna nula. A lei de Hooke diz que a força da mola é proporcional ao deslocamento:
F=-k x,
onde \,x é a deformação da mola medida a partir do comprimento natural (positiva para compressão) e \,k é a constante elástica. A força é zero exatamente quando \,x=0 (comprimento natural). Portanto o instante de perda de contato corresponde ao momento em que a mola voltou ao seu comprimento natural.

Passo 3

Como não há forças de resistência (nem atrito, nem amortecimento), a energia mecânica se conserva. Precisamos saber a energia elástica armazenada na mola quando ela está comprimida. A energia potencial elástica da mola é obtida integrando a força da mola em relação ao deslocamento:
U_s(x)=\int_0^{x} k x'\,dx'=\tfrac{1}{2}k x^2,
onde \,x' é a variável de integração. Aqui \,U_s(x) é a energia potencial elástica quando a mola está comprimida em \,x. Note que \,m é a massa do corpo e \,v será sua velocidade.

Passo 4

No instante inicial (liberando a mola) o corpo está em repouso, então a energia total inicial é apenas a energia elástica:
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}k x_0^2.
No instante em que a mola alcança o comprimento natural ( x=0) a energia elástica é zero e toda a energia foi transferida para a energia cinética do corpo:
E_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m v^2.
Pelo princípio da conservação da energia:
\tfrac{1}{2}k x_0^2=\tfrac{1}{2}m v^2.

Passo 5

Isolando v na equação anterior temos:
v = x_0\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo os valores dados (aqui deixo a conta mostrada passo a passo):
v = 0,8\;\sqrt{\dfrac{400}{1}} = 0,8\;\sqrt{400}=0,8\cdot 20.
Isso fornece a velocidade no instante em que o corpo perde contato com a mola. Confere que as unidades dão \mathrm{m/s} (metros por segundo) porque \sqrt{k/m} tem unidade \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

16\\ \mathrm{m/s}

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