A altura de adultos em uma cidade segue uma distribuição normal com média de 170 cm e desvio padrão de 10 cm .
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso ter altura entre 160 cm e 180 cm ?
b) Qual é a altura que delimita os 5 % maiores valores da distribuição?
c) Se uma amostra de 25 pessoas for retirada, qual será o desvio padrão da média amostral?

Passo 1

O enunciado diz que a altura X de adultos numa cidade é dada por uma distribuição normal com média mu=170 cm e desvio padrão sigma=10 cm. Precisamos calcular:
  1. a probabilidade de 160<= X<=180,
  2. o valor de x que delimita os 5% maiores alturas,
  3. o desvio padrão da média amostral de tamanho n=25.

Passo 2

Para a parte (a) usamos padronização. Se definirmos
Z = X - musigma = X - 17010,
então
P(160 <= X <= 180) = Pl(160-17010 <= Z <= 180-17010r) = P(-1 <= Z <= 1) = Phi(1) - Phi(-1),
onde Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

Dos valores tabelados da normal padrão temos
Phi(1) = 0,8413 e Phi(-1)=1-Phi(1)=0,1587. Logo
P(160 <= X <= 180) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

Passo 4

Para a parte (b) queremos x tal que P(X>x)=0,05, isto é P(X<= x)=0,95. Em termos de Z, buscamos z0,95approx1,645. Então
x = mu + z0,95,sigma = 170 + 1,645cdot10 = 186,45 cm

Passo 5

Na parte (c), o desvio padrão da média amostral overline X de tamanho n é
sigmaoverline X = sigmaraizn = 10raiz25 = 2 cm

Resposta

(a) 0,6826
(b) 186,45 cm
(c) 2 cm

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