A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de
e o raio crescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm . Dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro que está mudando de tamanho: a altura está diminuindo e o raio está aumentando. A gente precisa descobrir como o volume desse cilindro está mudando nesse momento específico. Para isso, vamos usar o cálculo de taxas de variação relacionadas e a fórmula do volume do cilindro, que é
. Vamos precisar aplicar derivadas em relação ao tempo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a altura está decrescendo a uma taxa de
. Isso quer dizer que
(o sinal negativo indica que está diminuindo). Já o raio está aumentando a uma taxa de
, então
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
. A fórmula é
. Aplicando a derivada:
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar
em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos substituir os valores que conhecemos:
,
,
e
:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
,
,
.
Segundo termo:
,
.
Então:
Passo 6
Finalmente, multiplicando por
:
Resposta
A taxa de variação do volume no instante considerado é
.