A altura de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 10 cm / min e o raio crescendo a uma taxa de 4 cm / min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 50 cm e o raio é 16 cm . Dado: V=pi r^2 h

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro que está mudando de tamanho: a altura está diminuindo e o raio está aumentando. A gente precisa descobrir como o volume desse cilindro está mudando nesse momento específico. Para isso, vamos usar o cálculo de taxas de variação relacionadas e a fórmula do volume do cilindro, que é . Vamos precisar aplicar derivadas em relação ao tempo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a altura está decrescendo a uma taxa de . Isso quer dizer que (o sinal negativo indica que está diminuindo). Já o raio está aumentando a uma taxa de , então .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo dVdt = pi ( 2r drdt cdot h + r^2 dhdt ) . A fórmula é . Aplicando a derivada:
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos substituir os valores que conhecemos: dVdt = pi ( 2 times 16 times 4 times 50 + 16^2 times (-10) ) , , e :

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro termo: dVdt = pi (6400 - 2560) = pi times 3840 , , .
Segundo termo: , .
Então:

Passo 6

Finalmente, multiplicando por dVdt = 3840pi , cm^3/min :

Resposta

A taxa de variação do volume no instante considerado é .

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