Calcule os limites a seguir, caso existam. Quando não for este o caso, justifique o porquê da não existência.
b) lim (x, y) (0,0) x^3 cdot y^3x^6+3 y^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , que estão se aproximando de . A matéria aqui é sobre limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao longo de diferentes caminhos que levam até o ponto .

Passo 2

Primeiro, vou escolher um caminho simples: onde x^3 cdot 0^3x^6+3 cdot 0^6 = 0x^6 = 0 . Assim, substituindo na função temos:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho: onde x^3 cdot x^3x^6+3 cdot x^6 = x^64x^6 = 14 . Substituindo, a função fica:
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que ao seguir caminhos diferentes, o limite assume valores diferentes ( e ). Isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções que aproximam de .

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos levam a valores de limite distintos.

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