Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
b) g(x, y)=x e^3 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais. A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a e . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , isto é, .
A função é o produto de e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial gpartial x = ddx(x) cdot e^3xy + x cdot ddx(e^3xy)
Sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos derivar ddx(e^3xy) = e^3xy cdot ddx(3xy) = e^3xy cdot 3y em relação a . Aqui usamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
partial gpartial x = 1 cdot e^3xy + x cdot (3y e^3xy) = e^3xy + 3xy e^3xy
Podemos fatorar partial gpartial x = e^3xy(1 + 3xy) :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , isto é, .
Começamos novamente com a função . Aqui, é tratado como constante ao derivar em relação a .

Passo 7

Derivando com relação a partial gpartial y = x cdot ddy(e^3xy) :
ddy(e^3xy) = e^3xy cdot ddy(3xy) = e^3xy cdot 3x
Usamos a regra da cadeia novamente:

Passo 8

Substituindo de volta:
partial gpartial y = x cdot 3x e^3xy = 3x^2 e^3xy

Resposta

As derivadas parciais da função partial gpartial x = e^3xy(1 + 3xy) são:
partial gpartial y = 3x^2 e^3xy
e

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