Calcule as derivadas parciais das funções a seguir:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais. A gente tem a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, isto é,
.
A função
é o produto de
e
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui usamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, isto é,
.
Começamos novamente com a função
. Aqui,
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 7
Derivando com relação a
:
Usamos a regra da cadeia novamente:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e