Calcule os limites a seguir, caso existam. Quando não for este o caso, justifique o porquê da não existência.
a) lim (x, y) (-1,2) y x+yx^2-4 x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e . O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis, verificando se o limite existe ou não, e como calculá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de 2 times (-1) + 2(-1)^2 - 4 times (-1) - 5 = -2 + 21 + 4 - 5 = 00 e na função para ver o que acontece:
Obtivemos a indeterminação , o que significa que precisamos simplificar a função ou verificar o limite por outros caminhos.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Olhando para o denominador, x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) , podemos fatorar:
y x + y(x - 5)(x + 1) = y(x + 1)(x - 5)(x + 1) = yx - 5 (desde que x neq -1)
Agora, a função fica:
Notamos que o termo foi cancelado, pois não é zero quando se aproxima de sem ser exatamente .

Passo 4

Com a função simplificada lim(x, y) to (-1, 2) yx - 5 = 2-1 - 5 = 2-6 = -13 , agora podemos calcular o limite substituindo os valores:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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