Qual a altura d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal, para vazões de 200, 400, 600 e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Pede: para cada vazão
igual a , , e , determinar a altura d’água (profundidade ) e a velocidade média de escoamento no canal trapezoidal. - Dados numéricos:
-
(coeficiente de Manning), - taludes laterais
(ou seja, , onde é a razão horizontal/vertical dos taludes), - largura do fundo
, - declividade
por mil .
-
- Vazões fornecidas (conversão para
que vou usar): -
, -
, -
, -
.
-
Passo 2
Ensinando a fórmula e as expressões geométricas que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Fórmula de Manning (modo usual para canais a céu aberto):
Explicando cada termo: -
é a vazão ( ). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). -
é a área da seção molhada ( ). -
é o raio hidráulico ( ), definido por . -
é o perímetro molhado ( ). -
é a declividade do canal (aqui ).
-
- Para um canal trapezoidal com taludes
(horizontal por vertical), largura de fundo e profundidade : - Área:
(explicação: retângulo do fundo mais dois triângulos das abas cuja soma é ). - Perímetro molhado:
(explicação: fundo mais as duas abas inclinadas com comprimento cada). - Assim
- Área:
- No problema temos
(porque ), . - Antes de iterar, é útil calcular o fator que se repete na fórmula:
Vou usar sempre esse valor como fator multiplicador.
Passo 3
Cálculo do fator
(para poupar repetição).
Portanto, a equação prática que vou resolver numericamente para
é
Explico também a estratégia de solução: essa equação é não-linear em
; vou aplicar um procedimento de tentativa e ajuste (método de tentativa/ interpolação linear entre ensaios) até que
esteja muito próximo do
pedido. É um método que dá para fazer à mão na prova com algumas tentativas inteligentes.
Passo 4
Resolução para
(detalhado, passo-a-passo das tentativas).
- Fórmulas específicas com
: - Tentativa 1:
- Tentativa 2:
- Como
em é um pouco maior e em era muito menor, procuro entre e . Faço tentativas e interpolo: - Em
: . - Em
: .
- Em
- Interpolando linearmente entre
e para atingir , obtemos - Área correspondente e velocidade média:
Passo 5
Resolução para
.
- Faço tentativas semelhantes:
- Em
: (já calculado). - Em
: calculei antes (maior que ). - Em
: (ligeiramente abaixo). - Em
: (ligeiramente acima).
- Em
- Interpolando entre
e para dá - Área e velocidade média:
Passo 6
Resolução para
.
- Tentativas e resultados:
- Em
: (abaixo). - Em
: (acima). - Em
: (um pouco acima). - Em
: (um pouco abaixo).
- Em
- Interpolando entre
e para atingir obtemos aproximadamente - Área e velocidade média:
Passo 7
Resolução para
.
- Tentativas:
- Em
: (abaixo). - Em
: (acima). - Em
: (ligeiramente acima). - Em
: (muito próximo).
- Em
- Assim, a profundidade que dá
é aproximadamente - Área e velocidade média:
Resposta
Para
(
):
e
.
Para
(
):
e
.
Para
(
):
e
.
Para
(
):
e
.