Qual a altura d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal, para vazões de 200, 400, 600 e 800 \mathrm{l} / \mathrm{s}.
\text { Dados: } \mathrm{n}=0,035, \quad \lambda=1: 1, \quad \mathrm{~b}=0,40 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{I}=2 \text { por mil. }

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Pede: para cada vazão Q igual a 200, 400, 600 e 800\\ \mathrm{l/s}, determinar a altura d’água (profundidade y) e a velocidade média de escoamento V no canal trapezoidal.
  • Dados numéricos:
    • n=0,035 (coeficiente de Manning),
    • taludes laterais \lambda=1:1 (ou seja, m=1, onde m é a razão horizontal/vertical dos taludes),
    • largura do fundo b=0,40\\ \mathrm{m},
    • declividade I=2 por mil \Rightarrow I=0,002.
  • Vazões fornecidas (conversão para \mathrm{m^3/s} que vou usar):
    • Q_1=200\\ \mathrm{l/s}=0,200\\ \mathrm{m^3/s},
    • Q_2=400\\ \mathrm{l/s}=0,400\\ \mathrm{m^3/s},
    • Q_3=600\\ \mathrm{l/s}=0,600\\ \mathrm{m^3/s},
    • Q_4=800\\ \mathrm{l/s}=0,800\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 2

Ensinando a fórmula e as expressões geométricas que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Fórmula de Manning (modo usual para canais a céu aberto): Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.Explicando cada termo:
    • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}).
    • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
    • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}).
    • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P}.
    • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}).
    • S é a declividade do canal (aqui S=I=0,002).
  • Para um canal trapezoidal com taludes m (horizontal por vertical), largura de fundo b e profundidade y:
    • Área: A=b\,y + m\,y^{2}.(explicação: retângulo do fundo b\,y mais dois triângulos das abas cuja soma é m\,y^{2}).
    • Perímetro molhado: P=b + 2\,y\sqrt{1+m^{2}}.(explicação: fundo b mais as duas abas inclinadas com comprimento y\sqrt{1+m^{2}} cada).
    • Assim R=\frac{A}{P}=\frac{b\,y + m\,y^{2}}{\,b + 2\,y\sqrt{1+m^{2}}\,}.
  • No problema temos m=1 (porque \lambda=1:1), \sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{2}.
  • Antes de iterar, é útil calcular o fator que se repete na fórmula: \frac{1}{n}\,S^{1/2}=\frac{1}{0,035}\sqrt{0,002}.Vou usar sempre esse valor como fator multiplicador.

Passo 3

Cálculo do fator \dfrac{1}{n}\,S^{1/2} (para poupar repetição).
\sqrt{0,002}\approx 0,04472136, \qquad \frac{1}{n}=\frac{1}{0,035}\approx 28,5714286.
\frac{1}{n}\,S^{1/2}\approx 28{,}5714286\times 0{,}04472136\approx 1{,}277753.
Portanto, a equação prática que vou resolver numericamente para y é
Q \approx 1{,}277753\; A(y)\; R(y)^{2/3}.
Explico também a estratégia de solução: essa equação é não-linear em y; vou aplicar um procedimento de tentativa e ajuste (método de tentativa/ interpolação linear entre ensaios) até que Q_{\text{calc}} esteja muito próximo do Q pedido. É um método que dá para fazer à mão na prova com algumas tentativas inteligentes.

Passo 4

Resolução para Q_1=0,200\\ \mathrm{m^3/s} (detalhado, passo-a-passo das tentativas).
  • Fórmulas específicas com m=1: A(y)=0{,}40\,y + y^{2}, \qquad P(y)=0{,}40 + 2y\sqrt{2}, \qquad R(y)=\frac{A(y)}{P(y)}.
  • Tentativa 1: y=0{,}20\\ \mathrm{m} A=0{,}4\cdot0{,}20+0{,}20^{2}=0{,}12\\ \mathrm{m^{2}},
P=0{,}4+2\cdot0{,}20\sqrt{2}\approx0{,}9657\\ \mathrm{m},
R\approx0{,}1243,\quad R^{2/3}\approx0{,}248.
Q_{\text{calc}}=1{,}277753\times0{,}12\times0{,}248\approx0{,}0380\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\text{muito pequeno}).
  • Tentativa 2: y=0{,}50\\ \mathrm{m} A=0{,}4\cdot0{,}50+0{,}5^{2}=0{,}45\\ \mathrm{m^{2}},
P\approx0{,}4+2\cdot0{,}5\sqrt{2}\approx1{,}8142,
R\approx0{,}2482,\quad R^{2/3}\approx0{,}395,
Q_{\text{calc}}\approx1{,}277753\times0{,}45\times0{,}395\approx0{,}2269\\ \mathrm{m^3/s}\quad(\text{um pouco acima de }0{,}200).
  • Como Q_{\text{calc}} em y=0{,}50 é um pouco maior e em y=0{,}20 era muito menor, procuro entre 0{,}45 e 0{,}48. Faço tentativas e interpolo:
    • Em y=0{,}47: Q_{\text{calc}}\approx0{,}1989\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Em y=0{,}475: Q_{\text{calc}}\approx0{,}2034\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Interpolando linearmente entre y=0{,}47 e y=0{,}475 para atingir Q=0{,}200, obtemos y\approx0{,}471\\ \mathrm{m}.
  • Área correspondente e velocidade média: A\approx0{,}4105\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}200}{0{,}4105}\approx0{,}488\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resolução para Q_2=0,400\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Faço tentativas semelhantes:
    • Em y=0{,}50: Q_{\text{calc}}\approx0{,}2269 (já calculado).
    • Em y=0{,}80: calculei antes Q_{\text{calc}}\approx0{,}6166 (maior que 0{,}400).
    • Em y=0{,}65: Q_{\text{calc}}\approx0{,}3947 (ligeiramente abaixo).
    • Em y=0{,}655: Q_{\text{calc}}\approx0{,}4024 (ligeiramente acima).
  • Interpolando entre y=0{,}65 e y=0{,}655 para Q=0{,}400 y\approx0{,}653\\ \mathrm{m}.
  • Área e velocidade média: A\approx0{,}6884\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad V=\frac{0{,}400}{0{,}6884}\approx0{,}582\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resolução para Q_3=0,600\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Tentativas e resultados:
    • Em y=0{,}75: Q_{\text{calc}}\approx0{,}538 (abaixo).
    • Em y=0{,}85: Q_{\text{calc}}\approx0{,}723 (acima).
    • Em y=0{,}79: Q_{\text{calc}}\approx0{,}6045 (um pouco acima).
    • Em y=0{,}787: Q_{\text{calc}}\approx0{,}5986 (um pouco abaixo).
  • Interpolando entre y=0{,}787 e y=0{,}79 para atingir 0{,}600 obtemos aproximadamente y\approx0{,}788\\ \mathrm{m}.
  • Área e velocidade média: A\approx0{,}9356\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad V=\frac{0{,}600}{0{,}9356}\approx0{,}641\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resolução para Q_4=0,800\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Tentativas:
    • Em y=0{,}88: Q_{\text{calc}}\approx0{,}771 (abaixo).
    • Em y=0{,}92: Q_{\text{calc}}\approx0{,}854 (acima).
    • Em y=0{,}90: Q_{\text{calc}}\approx0{,}8087 (ligeiramente acima).
    • Em y=0{,}895: Q_{\text{calc}}\approx0{,}7996 (muito próximo).
  • Assim, a profundidade que dá Q=0{,}800 é aproximadamente y\approx0{,}895\\ \mathrm{m}.
  • Área e velocidade média: A\approx1{,}1590\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad V=\frac{0{,}800}{1{,}1590}\approx0{,}690\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

Para Q=200\\ \mathrm{l/s} ( 0{,}200\\ \mathrm{m^3/s}): y\approx0{,}471\\ \mathrm{m} e V\approx0{,}488\\ \mathrm{m/s}.
Para Q=400\\ \mathrm{l/s} ( 0{,}400\\ \mathrm{m^3/s}): y\approx0{,}653\\ \mathrm{m} e V\approx0{,}582\\ \mathrm{m/s}.
Para Q=600\\ \mathrm{l/s} ( 0{,}600\\ \mathrm{m^3/s}): y\approx0{,}788\\ \mathrm{m} e V\approx0{,}641\\ \mathrm{m/s}.
Para Q=800\\ \mathrm{l/s} ( 0{,}800\\ \mathrm{m^3/s}): y\approx0{,}895\\ \mathrm{m} e V\approx0{,}690\\ \mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados