Qual a declividade que deve ter uma tubulação de esgoto de 15 cm de diâmetro,
, trabalhando com
da seção
, para conduzir uma vazão de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Diâmetro da tubulação:
. - Coeficiente de rugosidade de Manning:
. - Razão entre área molhada e área total:
. - Vazão solicitada: vou interpretar como
. Em unidades SI: - O que se pede: a declividade (inclinação/slope)
da tubulação necessária para que, trabalhando com da seção, a tubulação conduza .
Observações importantes (dados completamente definidos aqui): a relação entre área parcial e ângulo do segmento circular e a fórmula de Manning serão usadas para achar
. A partir daqui começo a resolver.
Passo 2
Entender as fórmulas que vamos usar (aula breve e prática).
- Fórmula de Manning para escoamento em canal/tubo em seção molhada:
onde:
-
é a vazão ( ), -
é coeficiente de Manning (adimensional), -
é a área molhada ( ), -
é o raio hidráulico ( ), definido por onde é o perímetro molhado ( ), -
é a declividade (adimensional, m/m).
Reescrevendo para
:
Então precisamos de
e
da seção parcial (60% da área).
- Geometria da seção circular parcialmente cheia.
Se
e a seção molhada é um segmento circular cujo ângulo central total é
(com
em radianos), então:
- Área do segmento:
- Perímetro molhado (comprimento do arco):
- Raio hidráulico:
- Fração da área ocupada em relação à área total
é
Nós sabemos
, então vamos primeiro achar
resolvendo
Passo 3
Calcular valores geométricos básicos e resolver para
.
- Raio:
- Área total da seção circular:
- Área molhada desejada (60%):
Agora resolvemos numericamente a equação para
:
Fazendo uma busca numérica (método de tentativa e afinação — na prova pode-se usar calculadora científica para iterações), encontra-se
(Dica rápida: avalie a função
em alguns pontos e faça interpolação linear para refinar.)
Passo 4
Calcular área do segmento e checar coerência.
Usando
:
Área do segmento:
Isso é muito próximo do
calculado pela fração
; a pequena diferença vem da aproximação do
(estamos consistentes).
Passo 5
Calcular o perímetro molhado
e o raio hidráulico
.
Perímetro molhado:
Raio hidráulico:
Passo 6
Calcular
(passo necessário para Manning) e aplicar a fórmula para
.
Primeiro:
Agora aplicar a expressão rearranjada para
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Interpretar o resultado em formas usuais.
- Declividade (m/m):
. - Em percentual:
Arredondando com sentido prático, pode-se informar
(m/m) ou
.
Pequeno comentário de incentivo: deu trabalho achar o
(essa parte é chata), mas a técnica é sempre a mesma: converter fração de área em ângulo, achar
e
, e usar Manning. Boa — já dá para aplicar em outras situações.