Qual a declividade que deve ter uma tubulação de esgoto de 15 cm de diâmetro, \mathrm{n}=0,014, trabalhando com 60 \% da seção (\mathrm{a} / \mathrm{A}=0,6), para conduzir uma vazão de 2 \frac{1}{\mathrm{~s}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Diâmetro da tubulação: D=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de rugosidade de Manning: n=0{,}014.
  • Razão entre área molhada e área total: \dfrac{a}{A}=0{,}6.
  • Vazão solicitada: vou interpretar como Q=2\\ \mathrm{L/s}. Em unidades SI: Q=2\\ \mathrm{L/s}=2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}=\(0{,}002\\ \mathrm{m^{3}/s}\).
  • O que se pede: a declividade (inclinação/slope) S da tubulação necessária para que, trabalhando com 60\% da seção, a tubulação conduza Q.
Observações importantes (dados completamente definidos aqui): a relação entre área parcial e ângulo do segmento circular e a fórmula de Manning serão usadas para achar S. A partir daqui começo a resolver.

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar (aula breve e prática).
  1. Fórmula de Manning para escoamento em canal/tubo em seção molhada:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s}),
  • n é coeficiente de Manning (adimensional),
  • A é a área molhada ( \mathrm{m^{2}}),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P} onde P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade (adimensional, m/m).
Reescrevendo para S:
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Então precisamos de A e R da seção parcial (60% da área).
  1. Geometria da seção circular parcialmente cheia.
Se r=\dfrac{D}{2} e a seção molhada é um segmento circular cujo ângulo central total é 2\theta (com \theta em radianos), então:
  • Área do segmento:
A_{\text{seg}}=r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr).
  • Perímetro molhado (comprimento do arco):
P_{\text{mol}}=2r\theta.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A_{\text{seg}}}{P_{\text{mol}}} = r\cdot\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{2\theta}.
  • Fração da área ocupada em relação à área total (\pi r^{2}) é
\frac{a}{A}=\frac{\theta-\sin\theta\cos\theta}{\pi}.
Nós sabemos \dfrac{a}{A}=0{,}6, então vamos primeiro achar \theta resolvendo
\theta-\sin\theta\cos\theta=0{,}6\pi.

Passo 3

Calcular valores geométricos básicos e resolver para \theta.
  • Raio:
r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}15}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Área total da seção circular:
A_{\text{total}}=\pi r^{2}=\pi(0{,}075)^{2}=\pi\cdot0{,}005625\approx0{,}0176715\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área molhada desejada (60%):
a=0{,}6\,A_{\text{total}}\approx0{,}6\cdot0{,}0176715\approx0{,}0106029\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora resolvemos numericamente a equação para \theta:
\theta-\sin\theta\cos\theta=0{,}6\pi\approx1{,}884955592.
Fazendo uma busca numérica (método de tentativa e afinação — na prova pode-se usar calculadora científica para iterações), encontra-se
\theta\approx1{,}7292\\ \text{rad}.
(Dica rápida: avalie a função f(\theta)=\theta-\tfrac{1}{2}\sin2\theta-0{,}6\pi em alguns pontos e faça interpolação linear para refinar.)

Passo 4

Calcular área do segmento e checar coerência.
Usando \theta\approx1{,}7292:
\theta-\sin\theta\cos\theta\approx1{,}884878.
Área do segmento:
A_{\text{seg}}=r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\cos\theta\bigr) =0{,}075^{2}\cdot1{,}884878 =0{,}005625\cdot1{,}884878\approx0{,}0105961\\ \mathrm{m^{2}}.
Isso é muito próximo do 0{,}0106029 calculado pela fração 0{,}6A; a pequena diferença vem da aproximação do \theta (estamos consistentes).

Passo 5

Calcular o perímetro molhado P e o raio hidráulico R.
Perímetro molhado:
P=2r\theta=2\cdot0{,}075\cdot1{,}7292\approx0{,}2594\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico:
R=\frac{A_{\text{seg}}}{P} \approx\frac{0{,}0105961}{0{,}2594}\approx0{,}0408748\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular R^{2/3} (passo necessário para Manning) e aplicar a fórmula para S.
Primeiro:
R^{2/3}\approx(0{,}0408748)^{2/3}\approx0{,}118572.
Agora aplicar a expressão rearranjada para S:
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Substituindo os valores:
Q\,n = 0{,}002\cdot0{,}014=0{,}000028.
A\,R^{2/3}=0{,}0105961\cdot0{,}118572\approx0{,}0012556.
\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\approx\frac{0{,}000028}{0{,}0012556}\approx0{,}022305.
S\approx(0{,}022305)^{2}\approx0{,}0004976.

Passo 7

Interpretar o resultado em formas usuais.
  • Declividade (m/m): S\approx0{,}0004976.
  • Em percentual:
S\cdot100\% \approx0{,}04976\%.
Arredondando com sentido prático, pode-se informar S\approx4{,}98\times10^{-4} (m/m) ou 0{,}05\%.
Pequeno comentário de incentivo: deu trabalho achar o \theta (essa parte é chata), mas a técnica é sempre a mesma: converter fração de área em ângulo, achar A e R, e usar Manning. Boa — já dá para aplicar em outras situações.

Resposta

S\approx4{,}98\times10^{-4} (m/m) \approx0{,}0498\%

Exercícios relacionados