Um bueiro circular de 80 cm de diâmetro conduz água por baixo de uma estrada com uma lâmina de 56 cm . Sabendo-se que \mathrm{I}=1 por mil e \mathrm{n}=0,015, calcule V e Q .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do bueiro: D=80\\ \text{cm} = 0,8\\ \mathrm{m}.
    • Lâmina de água (profundidade de escoamento dentro do tubo): y=56\\ \text{cm} = 0,56\\ \mathrm{m}.
    • Declividade (inclinação) dada: I=1 por mil, ou seja I=0,001.
    • Coeficiente de Manning: n=0,015.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a velocidade média do fluxo V (em \mathrm{m/s}).
    • Calcular a vazão Q (em \mathrm{m^3/s}).

Passo 2

Explicação das fórmulas que vamos usar (aula curta e prática).
  1. Equação de Manning (forma usual para canais abertos/condições parcialmente cheias):
V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2},
onde:
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P},
  • S é a declividade da linha de energia (aqui S=I).
  1. A vazão é:
Q = A\;V,
onde A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}).
Portanto precisamos calcular A e P para a seção circular parcialmente cheia, obter R, usar Manning para V e em seguida Q.

Passo 3

Como calcular A e P para um círculo parcialmente cheio (reforço didático).
  • Para um círculo de raio r e profundidade de água y (medida a partir do ponto mais baixo do tubo), a porção molhada corresponde a um segmento circular com ângulo central \theta (em radianos) dado por
\theta = 2\operatorname{arccos}\!\left(\frac{r-y}{r}\right).
Aqui r=\dfrac{D}{2}.
  • A área do segmento molhado é
A=\frac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr).
  • O perímetro molhado (comprimento em contato com a água) é
P=r\,\theta.
Vou aplicar essas fórmulas com nossos valores.

Passo 4

Converter e definir números iniciais e calcular \theta.
  • Raio:
r=\frac{D}{2}=\frac{0,8}{2}=0,4\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o argumento da arccos:
\frac{r-y}{r}=\frac{0,4-0,56}{0,4}=\frac{-0,16}{0,4}=-0,4.
  • Portanto
\theta=2\operatorname{arccos}(-0,4).
Vamos calcular numericamente \operatorname{arccos}(-0,4). Isso dá aproximadamente 1,9823\\ \text{rad}, então
\theta\approx 2\times 1,9823 = 3,9646\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcular a área molhada A e o perímetro molhado P.
  • Usando
A=\frac{r^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),
com r^{2}=0,4^{2}=0,16, \theta\approx 3,9646 e \sin\theta\approx -0,731689 (valor numérico),
\theta-\sin\theta \approx 3,9646 - (-0,731689)=4,696315.
Então
A\approx \frac{0,16}{2}\times 4,696315 = 0,08\times 4,696315 \approx 0,375705\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P=r\theta=0,4\times 3,9646 \approx 1,585850\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o raio hidráulico R.
  • Definição:
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores obtidos:
R\approx\frac{0,375705}{1,585850}\approx 0,236882\\ \mathrm{m}.
Vou explicar: o raio hidráulico mede a “espessura” equivalente do canal e substitui a relação área/perímetro para efeitos de perda de carga e velocidade média.

Passo 7

Aplicar a equação de Manning para obter V.
  • Primeiro calcular R^{2/3}. Com R\approx 0,236882,
R^{2/3}\approx 0,38261.
  • A declividade
S=I=0,001,\qquad S^{1/2}=\sqrt{0,001}\approx 0,0316228.
  • Substituindo em Manning:
V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}=\frac{1}{0,015}\times 0,38261\times 0,0316228.
Calcule passo a passo:
0,38261\times 0,0316228\approx 0,0121036,
\frac{1}{0,015}=66,\overline{6},
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V\approx 66{,}\overline{6}\times 0,0121036\approx 0,807\\ \mathrm{m/s}.
(Sugestão prática para prova: faça a multiplicação em duas etapas como acima para evitar erro de cálculo.)

Passo 8

Calcular a vazão Q.
  • Usando Q=A\,V:
Q\approx 0,375705\times 0,807\approx 0,303\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 9

Breve verificação de consistência e interpretação (ânimo!).
  • Velocidade da ordem de 0,8\\ \mathrm{m/s} e vazão da ordem de 0,3\\ \mathrm{m^3/s} são resultados coerentes para um tubo de \,0,8\\ \mathrm{m} parcialmente cheio e declividade pequena I=0,001.
  • Se a lâmina fosse menor (escoamento mais raso), A e R caem, e portanto V e Q também diminuiriam — boa intuição para a prova.

Resposta

V\approx 0,807\\ \mathrm{m/s}\n
Q\approx 0,303\\ \mathrm{m^{3}/s}

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