Calcular a altura mínima da lâmina d’água e a declividade máxima de um terraço parabólico em desnível, considerando uma velocidade máxima
.
Dados:
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a altura mínima da lâmina d’água (profundidade de escoamento) do terraço parabólico.
- Calcular a declividade máxima (inclinação do talvegue) que permite a velocidade máxima prescrita.
Dados fornecidos:
-
(largura da superfície livre, isto é a largura total ). -
(coeficiente de Manning). -
. - velocidade máxima permitida
.
Observação: a solução vai usar a geometria do corte parabólico simétrico cuja semi-largura na superfície livre é
. A lâmina d’água que procuramos é a profundidade
.
Passo 2
Encontrar a altura mínima
a partir da restrição de velocidade máxima.
Raciocínio: se a velocidade média não pode exceder
, a área mínima da seção úmida é
Calculemos
:
Agora precisamos relacionar a área
com a profundidade
para uma parabola. Seja a equação do perfil
simétrica entre
e
, onde
. Na superfície livre
quando
, logo
A área da seção é a integral
Substituindo
obtemos a expressão simples (muito útil!)
Como
, essa expressão também se escreve
Isolando
e usando
:
Passo 3
Calcular o raio hidráulico
necessário para a fórmula de Manning. Para isso precisamos do perímetro molhado
da parabola até a profundidade
.
Derivação do perímetro molhado: com
tem‑se
. O perímetro molhado é
Substituindo
e fazendo a mudança adimensional
obtém‑se a forma fechada
onde
Agora vamos calcular numericamente com
e
.
Calcule
:
Calcule os termos necessários:
Então o perímetro molhado é
A área já sabemos
. Logo o raio hidráulico
Passo 4
Preparar a fórmula de Manning e isolar a declividade
.
Fórmula de Manning (para escoamento uniforme em canal aberto):
onde
-
é a vazão ( ), -
é o coeficiente de Manning, -
é a área da seção molhada ( ), -
é o raio hidráulico ( ), -
é a declividade (adimensional).
Isolando
:
Calcule
:
Agora calcule o termo dentro dos parênteses:
Portanto
Expressando como porcentagem para facilitar interpretação:
Passo 5
Verificação rápida (cheia de confiança): a velocidade média correspondente à área escolhida é
ou seja, a área que pegamos é justamente a mínima que atende a restrição de velocidade máxima — ótimo, consistente.