Calcular a altura mínima da lâmina d’água e a declividade máxima de um terraço parabólico em desnível, considerando uma velocidade máxima =0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Dados: \quad \mathrm{B}=1,80 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{n}=0,035 \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{Q}=144 \mathrm{l} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a altura mínima da lâmina d’água (profundidade de escoamento) do terraço parabólico.
  • Calcular a declividade máxima (inclinação do talvegue) que permite a velocidade máxima prescrita.
Dados fornecidos:
  • B=1,80\\ \mathrm{m} (largura da superfície livre, isto é a largura total =2b).
  • n=0,035 (coeficiente de Manning).
  • Q=144\\ \mathrm{l/s}=0,144\\ \mathrm{m^3/s}.
  • velocidade máxima permitida v_{\max}=0,5\\ \mathrm{m/s}.
Observação: a solução vai usar a geometria do corte parabólico simétrico cuja semi-largura na superfície livre é b=B/2. A lâmina d’água que procuramos é a profundidade h.

Passo 2

Encontrar a altura mínima h_{\min} a partir da restrição de velocidade máxima.
Raciocínio: se a velocidade média não pode exceder v_{\max}, a área mínima da seção úmida é
A_{\min}=\frac{Q}{v_{\max}}.
Calculemos A_{\min}:
A_{\min}=\frac{0,144}{0,5}=0,288\\ \mathrm{m^2}.
Agora precisamos relacionar a área A com a profundidade h para uma parabola. Seja a equação do perfil
y=a x^2,
simétrica entre -b e +b, onde b=\dfrac{B}{2}. Na superfície livre y=h quando x=b, logo
a=\frac{h}{b^2}.
A área da seção é a integral
A=\int_{-b}^{b} y\,dx = \int_{-b}^{b} a x^2\,dx = 2a\int_{0}^{b} x^2\,dx = 2a\frac{b^3}{3}.
Substituindo a=h/b^2 obtemos a expressão simples (muito útil!)
A=\frac{2}{3}\,b\,h.
Como b=B/2, essa expressão também se escreve
A=\frac{B\,h}{3}.
Isolando h e usando A_{\min}=0,288\\ \mathrm{m^2}:
h_{\min}=\frac{3A_{\min}}{B}=\frac{3\cdot 0,288}{1,80}=0,48\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o raio hidráulico R necessário para a fórmula de Manning. Para isso precisamos do perímetro molhado P da parabola até a profundidade h.
Derivação do perímetro molhado: com y=a x^2 tem‑se dy/dx=2ax. O perímetro molhado é
P=2\int_{0}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx =2\int_{0}^{b}\sqrt{1+(2a x)^2}\,dx.
Substituindo a=\dfrac{h}{b^2} e fazendo a mudança adimensional u=x/b obtém‑se a forma fechada
P=b\left[\sqrt{1+m^2}+\frac{1}{m}\,\operatorname{arsinh}(m)\right],
onde
m=\frac{2h}{b}=\frac{2h}{B/2}=\frac{4h}{B}.
Agora vamos calcular numericamente com h=h_{\min}=0,48\\ \mathrm{m} e b=B/2=0,90\\ \mathrm{m}.
Calcule m:
m=\frac{2h}{b}=\frac{2\cdot 0,48}{0,90}=1,066666\ldots
Calcule os termos necessários:
\sqrt{1+m^2}=\sqrt{1+1,06666^2}=\sqrt{2,137777\ldots}\approx 1,461705,
\operatorname{arsinh}(m)=\ln\!\big(m+\sqrt{1+m^2}\big)\approx \ln(2,52837)\approx 0,92765.
Então o perímetro molhado é
P=b\Big[\sqrt{1+m^2}+\frac{1}{m}\operatorname{arsinh}(m)\Big] =0,90\Big[1,461705+\frac{0,92765}{1,066666}\Big]\approx 2,09844\\ \mathrm{m}.
A área já sabemos A=0,288\\ \mathrm{m^2}. Logo o raio hidráulico
R=\frac{A}{P}=\frac{0,288}{2,09844}\approx 0,13724\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Preparar a fórmula de Manning e isolar a declividade S.
Fórmula de Manning (para escoamento uniforme em canal aberto):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}),
  • n é o coeficiente de Manning,
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^2}),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade (adimensional).
Isolando S:
S=\left(\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.
Calcule R^{2/3}:
R^{2/3}=(0,13724)^{2/3}\approx 0,2666.
Agora calcule o termo dentro dos parênteses:
\frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}}=\frac{0,144\cdot 0,035}{0,288\cdot 0,2666} =\frac{0,00504}{0,0767808}\approx 0,06566.
Portanto
S=(0,06566)^2\approx 0,004312.
Expressando como porcentagem para facilitar interpretação:
S\approx 0,004312\approx 0,4312\%.

Passo 5

Verificação rápida (cheia de confiança): a velocidade média correspondente à área escolhida é
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,144}{0,288}=0,5\\ \mathrm{m/s},
ou seja, a área que pegamos é justamente a mínima que atende a restrição de velocidade máxima — ótimo, consistente.

Resposta

\,h_{\min}=0,48\\ \mathrm{m}
\,S_{\max}=0,004312\approx 0,4312\%

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