- A altura e o diâmetro de um cilindro circular reto são 10 e 6 centímetros, respectivamente. Se um pequeno acréscimo no diâmetro produzir um cilindro quatro por cento mais largo, qual será, aproximadamente, a porcentagem permitida na variação da altura para que não ocorra uma variação no cálculo do volume deste cilindro? Justifique sua resposta.
Passo 1
O problema dá um cilindro reto de altura 10 cm e diâmetro 6 cm, pede-se a variação percentual da altura que anule o efeito de um acréscimo de 4 % no diâmetro, mantendo o mesmo volume. O conteúdo envolvido é variação relativa de volume de um cilindro usando diferenciais (ou derivadas logarítmicas).
Passo 2
O volume de um cilindro em função do raio e da altura é
Para pequenas variações, usamos a aproximação de variação relativa (diferencial logarítmica):
Passo 3
Como o diâmetro e o raio estão relacionados por
, qualquer variação percentual em
é igual à variação percentual em
:
Passo 4
Sabemos que
, e queremos manter o volume constante, ou seja
. Logo:
Isolando
:
Passo 5
Isso significa que a altura deve variar cerca de -8 %, ou seja, diminuir aproximadamente 8 % para que o volume não sofra variação.
Resposta
A altura deve diminuir aproximadamente 8 % (variação de −8 %).