1. A altura e o diâmetro de um cilindro circular reto são 10 e 6 centímetros, respectivamente. Se um pequeno acréscimo no diâmetro produzir um cilindro quatro por cento mais largo, qual será, aproximadamente, a porcentagem permitida na variação da altura para que não ocorra uma variação no cálculo do volume deste cilindro? Justifique sua resposta.

Passo 1

O problema dá um cilindro reto de altura 10 cm e diâmetro 6 cm, pede-se a variação percentual da altura que anule o efeito de um acréscimo de 4 % no diâmetro, mantendo o mesmo volume. O conteúdo envolvido é variação relativa de volume de um cilindro usando diferenciais (ou derivadas logarítmicas).

Passo 2

O volume de um cilindro em função do raio e da altura é
V=pi r^2 h
Para pequenas variações, usamos a aproximação de variação relativa (diferencial logarítmica):
De

Passo 3

Como o diâmetro e o raio estão relacionados por d=2r, qualquer variação percentual em d é igual à variação percentual em r:
De

Passo 4

Sabemos que De, e queremos manter o volume constante, ou seja De. Logo:
0 = 2cdotDe
Isolando De:
De

Passo 5

Isso significa que a altura deve variar cerca de -8 %, ou seja, diminuir aproximadamente 8 % para que o volume não sofra variação.

Resposta

A altura deve diminuir aproximadamente 8 % (variação de −8 %).

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