Ache uma formula para calcular a soma:
sumn=1^+infty 2 n x^2 n-1, para |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma fórmula que calcule a soma infinita sumn=1^+infty 2n x^2n-1 onde |x| < 1. O conteúdo principal aqui envolve séries infinitas e um pouco de cálculo para manipular essas somas. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma série geométrica e entender como lidar com termos que envolvem o índice n multiplicando potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão. A soma que queremos é:
sumn=1^+infty 2n x^2n-1
Podemos reescrever x^2n-1 como x^2nx, então fica:
sumn=1^+infty 2n x^2nx = 2x sumn=1^+infty n x^2n
Agora, temos uma constante 2x multiplicando uma soma que envolve n x^2n.

Passo 3

Vamos simplificar ainda mais usando uma substituição. Seja y = x^2. Assim, nossa soma fica:
sumn=1^+infty n y^n
Agora, a soma está em termos de y, o que facilita aplicar uma fórmula conhecida para esse tipo de série.

Passo 4

Existe uma fórmula para a soma de séries do tipo sumn=1^+infty n y^n, que é:
sumn=1^+infty n y^n = y(1 - y)^2, para |y| < 1
Substituindo de volta y = x^2, temos:
sumn=1^+infty n x^2n = x^2(1 - x^2)^2

Passo 5

Agora, voltamos à nossa expressão original que tinha um fator 2x:
2x sumn=1^+infty n x^2n = 2x cdot x^2(1 - x^2)^2
Simplificando, o x do denominador e o x^2 do numerador resultam em um x no numerador final:
2x(1 - x^2)^2

Resposta

A soma é igual a 2x(1 - x^2)^2, para |x| < 1.

Exercícios relacionados