Ache uma formula para calcular a soma:
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma fórmula que calcule a soma infinita
onde
. O conteúdo principal aqui envolve séries infinitas e um pouco de cálculo para manipular essas somas. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma série geométrica e entender como lidar com termos que envolvem o índice
multiplicando potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão. A soma que queremos é:
Podemos reescrever
como
, então fica:
Agora, temos uma constante
multiplicando uma soma que envolve
.
Passo 3
Vamos simplificar ainda mais usando uma substituição. Seja
. Assim, nossa soma fica:
Agora, a soma está em termos de
, o que facilita aplicar uma fórmula conhecida para esse tipo de série.
Passo 4
Existe uma fórmula para a soma de séries do tipo
, que é:
Substituindo de volta
, temos:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa expressão original que tinha um fator
:
Simplificando, o
do denominador e o
do numerador resultam em um
no numerador final:
Resposta
A soma é igual a
, para
.