- Seja
, onde
e
são funções diferenciáveis. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
, onde
e
são diferenciáveis. O objetivo é mostrar que
. Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Para facilitar, defino as variáveis auxiliares
e
. Assim podemos reescrever
e usar
,
,
,
.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Agora derivo
em relação a
usando regra do produto em
e regra da cadeia em
:
Substituindo as derivadas de
obtém-se
Passo 5
Em seguida derivo
em relação a
:
Substituindo as derivadas de
ficamos com
Passo 6
Multiplico agora
por
:
Passo 7
Finalmente somo
com
. Todos os termos envolvendo
,
e
se cancelam, restando apenas
Passo 8
Pronto! Mostramos exatamente o que se pedia.
Resposta
f\bigl(\tfrac yx\bigr)