1. Seja w=x f(yx)-g(yx, xy), onde f e g são funções diferenciáveis. Mostre que
partial wpartial x+yx partial wpartial y=f(yx)

Passo 1

O enunciado diz que temos a função w = x,fl(tfrac yxr) - gl(tfrac yx,tfrac xyr), onde f e g são diferenciáveis. O objetivo é mostrar que partial wpartial x + yxpartial wpartial y = fl(tfrac yxr). Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para facilitar, defino as variáveis auxiliares u = tfrac yx e v = tfrac xy. Assim podemos reescrever w = x,f(u) - g(u,v) e usar partial u/partial x, partial v/partial x, partial u/partial y, partial v/partial y.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais de u e v:
partial upartial x = partialpartial xl(tfrac yxr) = - yx^2 = - ux,
partial vpartial x = partialpartial xl(tfrac xyr) = 1y = vx,
partial upartial y = 1x, partial vpartial y = -xy^2 = - vy

Passo 4

Agora derivo w em relação a x usando regra do produto em x,f(u) e regra da cadeia em g(u,v):
partial wpartial x = f(u) + x f'(u)partial upartial x - l(gupartial upartial x + gvpartial vpartial xr)
Substituindo as derivadas de u,v obtém-se
partial wpartial x = f(u) - u f'(u) + uxgu - vxgv

Passo 5

Em seguida derivo w em relação a y:
partial wpartial y = x f'(u)partial upartial y - l(gupartial upartial y + gvpartial vpartial yr)
Substituindo as derivadas de u,v ficamos com
partial wpartial y = f'(u) - gux + vygv

Passo 6

Multiplico agora partial wpartial y por tfrac yx:
yxpartial wpartial y = u f'(u) - uxgu + vxgv

Passo 7

Finalmente somo partial wpartial x com tfrac yxpartial wpartial y. Todos os termos envolvendo f'(u), gu e gv se cancelam, restando apenas
partial wpartial x + yxpartial wpartial y = f(u) = fl(tfrac yxr)

Passo 8

Pronto! Mostramos exatamente o que se pedia.

Resposta

f\bigl(\tfrac yx\bigr)

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