Determinar o domínio da seguinte função e representar graficamente:
Passo 1
Estamos com a função z = ∛(x² + y²). O conteúdo aqui é domínio de função de duas variáveis reais e representação gráfica de superfícies. Para resolver, vamos usar a definição de raiz ímpar (cúbica) e coordenadas cilíndricas para visualizar o gráfico.
Passo 2
O domínio de uma função de duas variáveis z = f(x,y) é o conjunto de todos os pares (x,y) em que f(x,y) está bem definida. Como a raiz cúbica ∛u aceita qualquer u∈ℝ e o argumento u = x² + y² é sempre ≥0, não há restrição. Logo, o domínio é o plano inteiro.
Passo 3
Para desenhar o gráfico, note que x² + y² = r² em coordenadas cilíndricas (r ≥ 0, θ ∈ [0,2π)). Assim z = ∛(r²) = r^{2/3}. Isso descreve uma superfície de revolução em torno do eixo z, pois não depende de θ.
Passo 4
Podemos também caracterizar curvas de nível (z constante): z₀ = r^{2/3} ⇒ r = z₀^{3/2}. Ou seja, para cada z₀ ≥ 0 a interseção com o plano z = z₀ é um círculo de raio z₀^{3/2}. A forma geral da superfície é dada implicitamente por z³ = x² + y².
Resposta
Domínio:
. Gráfico: superfície de revolução em
definida por
, ou em coordenadas cilíndricas por
.