Se, a uma altura especificada Z, a pressão do gás é pz e a z=0 é p0, mostre que em qualquer altura z, p=p0 f^z / Z, onde f=pz / p0.

Passo 1

Beleza, o problema diz que num gás, na altura z=0 a pressão é p ;=; p0,f^,z/Z, e lá em cima, na altura , a pressão é . A missão é mostrar que em qualquer altura a pressão vale
sendo .
Isso envolve dois conteúdos da matéria:
  1. Equilíbrio hidrostatico (dp/dz = –ρg).
  2. Equação de estado do gás ideal (p = ρ R T).
    Vamos precisar também de integrais e das propriedades de logaritmo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a condição de equilíbrio vertical do gás (força peso compensada pelo gradiente de pressão):
dpdz ;=; -,rho,g
Mas não temos ρ direto, só p. Como lembramos da equação de estado (e assumindo temperatura T constante),
p = rho,R,T Longrightarrow rho = pR,T
Substituindo em dpdz = -,pR,T,g Longrightarrow dpdz = -gR,T,p :

Passo 3

Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que separa fácil:
1p,dp = -gR,T,dz
Agora integramos dos limites integralp0^p1p',dp' ;=; -gR,T,integral0^zdz' ;Longrightarrow; ln!l(tfracpp0r) = -,gR,T,z e :

Passo 4

Sabemos também que, na altura ln!l(tfracpzp0r) = -,gR,T,Z ,
ln f = -gR,T,Z Longrightarrow gR,T = -ln fZ
Definindo , fica

Passo 5

Voltando à expressão geral
ln!l(tfracpp0r) = -l(-ln fZr),z = zZ,ln f ;Longrightarrow; pp0 = e^,(z/Z),ln f = f^,z/Z
e trocando pela forma acima:

Resposta

boxedp = p0,f^,z/Z,com f = pzp0

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