Se, a uma altura especificada
, a pressão do gás é
e a
é
, mostre que em qualquer altura
,
, onde
.
Passo 1
Beleza, o problema diz que num gás, na altura z=0 a pressão é
e lá em cima, na altura
, a pressão é
. A missão é mostrar que em qualquer altura
a pressão vale
sendo
.
Isso envolve dois conteúdos da matéria:
Isso envolve dois conteúdos da matéria:
- Equilíbrio hidrostatico (dp/dz = –ρg).
- Equação de estado do gás ideal (p = ρ R T).
Vamos precisar também de integrais e das propriedades de logaritmo.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a condição de equilíbrio vertical do gás (força peso compensada pelo gradiente de pressão):
Mas não temos ρ direto, só p. Como lembramos da equação de estado (e assumindo temperatura T constante),
Substituindo em
:
Passo 3
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem que separa fácil:
Agora integramos dos limites
e
:
Passo 4
Sabemos também que, na altura
,
Definindo
, fica
Passo 5
Voltando à expressão geral
e trocando pela forma acima:
e trocando