Considere um gás ideal com uma massa molar fixa e numa temperatura determinada em um campo gravitacional. Se numa altitude de 5,0 km a pressão é 0,90 do valor no solo, que fração do valor no solo terá a pressão a 10 km ? E a 15 km ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um gás ideal a temperatura constante num campo gravitacional. Sabemos que, a 5 km de altitude, a pressão é 0,90 vezes a pressão ao nível do mar (que vou chamar de p(h)=p0,e^-MghRT ). A pergunta é: que fração de a pressão terá a 10 km e a 15 km?
Conteúdo: lei barométrica (gas ideal em atmosfera isoterma). Vamos usar a fórmula
e as propriedades de exponencial para achar as frações pedidas.

Passo 2

Antes de sair calculando, vale explicar de onde vem a fórmula. Num gás ideal sob gravidade e temperatura constante, o equilíbrio hidrostático e a equação de estado levam a
dpdh=-rho,g e p=rho,RTM,
Juntando os dois, obtemos
dpp=-M gRT,dh ;longrightarrow; p(h)=p0exp!l(-tfracM gRT,hr)
Para simplificar, chamo
aequiv M gRT,
então
p(h)p0=e^-a,h
Sabendo que a 5 km essa razão vale 0,90, temos
0,90=e^-a,(5 km) ;Longrightarrow; a=-15ln(0,90)
Agora já podemos achar pra qualquer .

Passo 3

Usando p(h)p0 = exp!l(-a,hr) = exp!l(ln(0,90),h5r) = l(0,90r)^!h/5 , fica
Então, no lugar de calcular e tudo, basta usar essa potência direta:
  • Para km:
  • Para km:

Resposta

A fração da pressão ao nível do mar é
  • a 10 km: 0,81 (81%)
  • a 15 km: 0,729 (72,9%)

Exercícios relacionados