A altura de um helicóptero acima do chão é dada por h= 3,00 t^3, onde h é dado em metros e t em segundos. Em t= 2,00 s, o helicóptero solta uma pequena bolsa postal. Quanto tempo depois de ser solta a bolsa chega ao chão?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a altura do helicóptero acima do chão é dada por
h(t) = 3,00,t^3(em metros, com t em segundos)
e que, em ,s, o helicóptero solta uma bolsa. A pergunta é: quanto tempo \emph{depois} desse instante a bolsa chega ao chão?
Conteúdo: cálculo de derivada (pra achar a velocidade inicial da bolsa) e cinemática do movimento uniformemente acelerado (movimento de queda livre com aceleração da gravidade).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a altura inicial h0 = h(2,00) = 3,00 times (2,00)^3 = 3,00 times 8 = 24 m e a velocidade inicial v(t) = dhdt = 3,00times 3,t^2 = 9,00,t^2 da bolsa no instante do lançamento ( v0 = v(2,00) = 9,00times (2,00)^2 = 9,00times 4 = 36 m/s (para cima) s).
  1. Altura inicial:
    2. Velocidade do helicóptero (e, por consequência, da bolsa no instante da soltura):
    para isso, derivamos :
    Então, em s:

Passo 3

A seguir, modelamos o movimento da bolsa a partir do instante da soltura (que chamaremos de y(t') = h0 + v0,t' - 12,g,t'^2,). A equação da posição vertical, medindo 0 = 24 + 36,t' - tfrac12times 9,8,t'^2 = 24 + 36,t' - 4,9,t'^2 no solo, é:

onde
- m é a altura inicial,
- m/s é a velocidade inicial (positiva para cima),
- m/s é a aceleração da gravidade (sempre para baixo).
Para a bolsa chegar ao chão, a gente põe :

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão de equação quadrática:
4,9,t'^2 - 36,t' - 24 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
$$t’ = \frac{36 \pm \sqrt{(-36)^2 -4\cdot 4{,}9\cdot(-24)}}{2\cdot 4{,}9}
= \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 470{,}4}}{9{,}8}
= \frac{36 \pm \sqrt{1766{,}4}}{9{,}8}.$$

Passo 5

Calculando o discriminante e as raízes:
  • t'1 = 36 + 42,039,8approx 78,039,8approx 7,96 s,, t'2 = 36 - 42,039,8approx -6,039,8approx -0,62 s (desprezível).
  • Raízes: í
    A raiz negativa não faz sentido fisicamente (seria antes da soltura), então descartamos.

Resposta

A bolsa chega ao chão aproximadamente 7,96 segundos depois de ser solta.

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