S Engenheiros automotivos referem-se ao tempo de mudança de aceleração como jerk. Suponha que um corpo se mova em uma dimensão de tal modo que seu jerk
é constante. (a) Determine expressões para sua aceleração
, velocidade
e posição
, dados que sua aceleração, velocidade e posição iniciais são
e
, respectivamente. (b) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede?
– É sobre um movimento unidimensional com jerk constante .
– Precisamos encontrar as fórmulas de aceleração , velocidade
e posição
em função do tempo e das condições iniciais
.
– Depois, mostrar que vale a relação
– É sobre um movimento unidimensional com jerk constante
– Precisamos encontrar as fórmulas de aceleração
– Depois, mostrar que vale a relação
Conteúdos usados: definição de jerk (
), integrais para passar de derivada a função e manipulação algébrica básica.
Passo 2
Encontremos
.
– Por definição, jerk é a derivada da aceleração:
– Por definição, jerk é a derivada da aceleração:
– Isso vira uma equação diferencial simples:
.
– Integramos dos instantes iniciais ( ,
) até um tempo genérico
:
.
– O lado esquerdo vira ; o direito é
.
Logo:
– Integramos dos instantes iniciais (
– O lado esquerdo vira
Logo:
Passo 3
Agora a velocidade
e a posição
.
- Velocidade:
.
– Substituindo:
.
– Usamospara achar :
, logo .
Assim: - Posição:
.
– Integramos:
.
– Usamospara achar .
Então:
Passo 4
Agora mostramos que
.
– Da expressão , isolamos
:
– Da expressão
– Substituímos em
:
– Simplificando:
– O numerador é
– Então
que era o que queríamos.