S Engenheiros automotivos referem-se ao tempo de mudança de aceleração como jerk. Suponha que um corpo se mova em uma dimensão de tal modo que seu jerk J é constante. (a) Determine expressões para sua aceleração ax(t), velocidade vx(t) e posição x(t), dados que sua aceleração, velocidade e posição iniciais são ax i, vx i e xi, respectivamente. (b) Mostre que .

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede?
– É sobre um movimento unidimensional com jerk constante ax^2 = ax i^2 + 2,J,(vx - vx i), .
– Precisamos encontrar as fórmulas de aceleração , velocidade e posição em função do tempo e das condições iniciais .
– Depois, mostrar que vale a relação
Conteúdos usados: definição de jerk ( ), integrais para passar de derivada a função e manipulação algébrica básica.

Passo 2

Encontremos J = daxdt .
– Por definição, jerk é a derivada da aceleração:
ax(t) = ax i + J,t
– Isso vira uma equação diferencial simples:
.
– Integramos dos instantes iniciais ( , ) até um tempo genérico :
.
– O lado esquerdo vira ; o direito é .
Logo:

Passo 3

Agora a velocidade vx(t) = vx i + ax i,t + tfrac12,J,t^2 e a posição x(t) = xi + vx i,t + tfrac12,ax i,t^2 + tfrac16,J,t^3 .
  1. Velocidade: .
    – Substituindo :
    .
    – Usamos para achar :
    , logo .
    Assim:
  2. Posição: .
    – Integramos :
    .
    – Usamos para achar .
    Então:

Passo 4

Agora mostramos que t = ax - ax iJ .
– Da expressão vx - vx i = ax i,ax - ax iJ + tfrac12Jl(ax - ax iJr)^2 , isolamos vx - vx i = ax i(ax - ax i)J + (ax - ax i)^22J = 2,ax i(ax - ax i) + (ax - ax i)^22J :
2ax iax - 2ax i^2 + ax^2 - 2ax iax + ax i^2 = ax^2 - ax i^2
– Substituímos em vx - vx i = ax^2 - ax i^22J ;Longrightarrow; ax^2 = ax i^2 + 2J,(vx - vx i), :
– Simplificando:
– O numerador é
– Então
que era o que queríamos.

Resposta

boxed ax(t)&=ax i+J,t, vx(t)&=vx i+ax i,t+tfrac12J,t^2, x(t)&=xi+vx i,t+tfrac12ax i,t^2+tfrac16J,t^3, e boxedax^2 = ax i^2 + 2,J,l(vx - vx ir)

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