Numa altura igual à metade da altura máxima que atinge, a velocidade de um projétil tem o valor igual a três quartos do seu valor inicial. Qual é o ângulo que o vetor velocidade inicial faz em relação ao horizonte?

Passo 1

O enunciado diz: “Num projétil lançado com velocidade inicial , na altura igual a metade da altura máxima a velocidade vale . Calcular o ângulo de lançamento em relação ao horizonte.”
Conteúdo: movimento oblíquo (MRUV em e movimento uniforme em ), uso da equação e decomposição de vetores. Vamos precisar:
  1. fórmula da altura máxima ,
  2. equação de velocidade vertical em função da altura,
  3. componente horizontal constante,
  4. relação entre a velocidade total na altura e .

Passo 2

Primeiro, lembramos que na direção vertical (eixo H = (v0y)^22g,) com aceleração y = H2 = (v0sintheta)^24g temos a altura máxima
onde .
Logo, metade dessa altura é

Passo 3

Ainda na vertical, a equação de energia/Vel² diz que, ao subir uma distância vy^2 = v0y^2 - 2g,y ,
vy^2 = (v0sintheta)^2 - 2gcdot(v0sintheta)^24g = (v0sintheta)^2l(1 - tfrac12r) = (v0sintheta)^22
Substituindo :
Como estamos “subindo”, tomamos .

Passo 4

Na direção horizontal (eixo vx = v0x = v0costheta ), não há aceleração, então
v = raizvx^2 + vy^2 = v0raizcos^2theta + sin^2theta2
A velocidade total na altura cos^2theta + sin^2theta2 = l(tfrac34r)^2 = 916 vale
cos^2theta + 1-cos^2theta2 = 916 ;Longrightarrow; cos^2theta2 + 12 = 916 ;Longrightarrow; cos^2theta = 18
O enunciado diz que isso é . Dividindo por e elevando ao quadrado:
Como ,

Passo 5

Então
costheta = raiztfrac18 = 12raiz2
Tomando o ângulo agudo:
theta = arccos!l(tfrac12raiz2r)approx 69,3^circ

Resposta

O ângulo de lançamento é aproximadamente .

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