Considere um espaço bidimensional. Uma base completa |1rang<=,|2rang<= é usada para representar os operadores A=lambda(|1rang<=lang<= 2|+|2rang<=lang<= 1|) e B=mu(-i|1rang<=lang<= 2|+i|2rang<=lang<= 1|), onde lambda e mu são constantes reais positivas.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de A e B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: em um espaço 2D com base completa A = lambdal(|1rang<=lang<=2| + |2rang<=lang<=1|r), B = mul(-i,|1rang<=lang<=2| + i,|2rang<=lang<=1|r), , temos os operadores
onde e são constantes reais positivas. A tarefa é achar os autovalores e os autovetores normalizados de e .
Conteúdo: diagonalização de operadores (ou matrizes) Hermitianas em mecânica quântica / álgebra linear.
O que vamos precisar:
  • Escrever a matriz de e de na base .
  • Resolver para achar autovalores .
  • Resolver para achar autovetores .
  • Normalizar cada vetor (norma igual a 1).

Passo 2

Primeiro, escrevemos as matrizes na base A = lambda 0 & 1 1 & 0 . Lembrando que
B = mu 0 & -i i & 0 é o elemento .
  • Para :
    vira
  • Para :
    vira

Passo 3

Agora, achamos os autovalores de det!l(lambda0&11&0 - a1&00&1r) = det-a & lambdalambda & -a = a^2 - lambda^2 = 0 .
Resolvemos a = pm lambda :
Logo,

Passo 4

Autovetores de v1v2:
  1. Para -lambda&lambdalambda&-lambda, resolvemos
    1raiz211 ;long<=ftrightarrow; |1rang<= + |2rang<=raiz2 , ou seja
    1raiz21-1 ;long<=ftrightarrow; |1rang<= - |2rang<=raiz2
    .
    Escolho e normalizo:
  1. Para , mesma coisa dá . Pegamos e normalizamos:

Passo 5

Agora det-b & -imuimu & -b = b^2 - mu^2 = 0 Longrightarrow b=pmmu . Autovalores vêm de :

Passo 6

Autovetores de -mu & -imuimu & -mu:
  1. Para 1raiz21i ;long<=ftrightarrow; |1rang<= + i,|2rang<=raiz2 , a equação é
    1raiz21-,i ;long<=ftrightarrow; |1rang<= - i,|2rang<=raiz2 .
    Da primeira linha: .
    Ou da segunda linha: . Ambas dão a mesma relação .
    Escolho e normalizo:
  1. Para , dá . Vetor normalizado:

Resposta

Autovalores e autovetores normalizados:
Para :
  • com
  • com
Para :
  • com
  • com

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