Considere um espaço bidimensional. Uma base completa
é usada para representar os operadores
e
, onde
e
são constantes reais positivas.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de A e
.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de A e
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: em um espaço 2D com base completa
, temos os operadores
onde
e
são constantes reais positivas. A tarefa é achar os autovalores e os autovetores normalizados de
e
.
Conteúdo: diagonalização de operadores (ou matrizes) Hermitianas em mecânica quântica / álgebra linear.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Escrever a matriz de
e de na base . - Resolver
para achar autovalores . - Resolver
para achar autovetores . - Normalizar cada vetor (norma igual a 1).
Passo 2
Primeiro, escrevemos as matrizes na base
. Lembrando que
é o elemento
.
- Para
:
vira - Para
:
vira
Passo 3
Agora, achamos os autovalores de
.
Resolvemos :
Resolvemos
Logo,
Passo 4
Autovetores de
:
- Para
, resolvemos
, ou seja
→→ .
Escolhoe normalizo:
- Para
, mesma coisa dá . Pegamos e normalizamos:
Passo 5
Agora
. Autovalores vêm de
:
Passo 6
Autovetores de
:
- Para
, a equação é
.
Da primeira linha:→ .
Ou da segunda linha:→ . Ambas dão a mesma relação .
Escolhoe normalizo:
- Para
, dá . Vetor normalizado:
Resposta
Autovalores e autovetores normalizados:
Para
:
-
com -
com
Para
:
-
com -
com