Um projétil é disparado com velocidade inicial v sob um ângulo de 30^circ acima do horizonte e de uma altura de 40 m em relação ao solo. O projétil atinge o solo cm uma velocidade cujo módulo é 1,2 v. Calcular v. Calcular o alcance do projétil.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de projétil! A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos usar algumas fórmulas de movimento com velocidade inicial, ângulo de lançamento e altura inicial. Nosso objetivo é encontrar a velocidade inicial $ v $ e o alcance do projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial $ v $ em suas componentes horizontal e vertical. Como o ângulo de lançamento é de $ 30^\circ $, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
v
30^circ
Sabemos que $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, então:
vx = v cdot cos(30^circ)
vy = v cdot sin(30^circ)

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical. O projétil é lançado de uma altura de 40 metros e atinge o solo com uma velocidade final que é $ 1,2v $. Podemos usar a equação de conservação de energia ou as equações de movimento uniformemente acelerado. Vamos usar as equações de movimento.
A velocidade final no eixo vertical ($ v_{yf} 1,2v çã g = 9,8 , m/s^2 vyf â h = 40 , m $):
g = 9,8 , m/s^2
Sabemos que a velocidade final total é $ 1,2v $ e que ela é composta pelas componentes horizontal e vertical:
h = 40 , m
Substituindo $ v_x $ e rearranjando:
vyf^2 = vy^2 + 2gh

Passo 4

Vamos substituir $ v_{yf}^2 $ na primeira equação:
vyf^2
Expandindo os termos:
(1,2v)^2 - ( v cdot raiz32 )^2 = ( v cdot 12 )^2 + 2gh
Simplificando:
1,44v^2 - 34v^2 = 14v^2 + 2 cdot 9,8 cdot 40
1,44v^2 - 0,75v^2 = 0,25v^2 + 784
0,69v^2 = 0,25v^2 + 784
0,44v^2 = 784
v^2 = 7840,44
v^2 approx 1781,82

Passo 5

Agora que temos a velocidade inicial $ v \approx 42,2 , m/s v approx 42,2 , m/s é R $) é a distância horizontal que o projétil percorre até tocar o solo.
Primeiro, encontramos o tempo de voo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
R
Sabemos que $ y = -40 , m $ (pois o projétil desce 40 metros), então:
y = vy t - 12 g t^2
y = -40 , m
-40 = ( 42,2 cdot 12 ) t - 12 cdot 9,8 cdot t^2
Resolvendo essa equação quadrática pelo método de Bhaskara:
-40 = 21,1 t - 4,9 t^2
4,9 t^2 - 21,1 t - 40 = 0
t = 21,1 pm raiz(21,1)^2 + 4 cdot 4,9 cdot 402 cdot 4,9
t = 21,1 pm raiz445,21 + 7849,8
Desconsideramos a solução negativa:
t = 21,1 pm raiz1229,219,8

Passo 6

Finalmente, calculamos o alcance usando a componente horizontal da velocidade e o tempo de voo:
R = vx cdot t = ( 42,2 cdot raiz32 ) cdot 5,73
R approx 42,2 cdot 0,866 cdot 5,73
R approx 36,53 cdot 5,73 approx 209,0 , m

Resposta

A velocidade inicial $ v $ é aproximadamente 42,2 m/s e o alcance do projétil é cerca de 209,0 metros.

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