Um projétil é disparado com velocidade inicial
sob um ângulo de
acima do horizonte e de uma altura de 40 m em relação ao solo. O projétil atinge o solo cm uma velocidade cujo módulo é
. Calcular
. Calcular o alcance do projétil.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de projétil! A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos usar algumas fórmulas de movimento com velocidade inicial, ângulo de lançamento e altura inicial. Nosso objetivo é encontrar a velocidade inicial $ v $ e o alcance do projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial $ v $ em suas componentes horizontal e vertical. Como o ângulo de lançamento é de $ 30^\circ $, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno:
Sabemos que $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento vertical. O projétil é lançado de uma altura de 40 metros e atinge o solo com uma velocidade final que é $ 1,2v $. Podemos usar a equação de conservação de energia ou as equações de movimento uniformemente acelerado. Vamos usar as equações de movimento.
A velocidade final no eixo vertical ($ v_{yf}
g = 9,8 , m/s^2
h = 40 , m $):
Sabemos que a velocidade final total é $ 1,2v $ e que ela é composta pelas componentes horizontal e vertical:
Substituindo $ v_x $ e rearranjando:
Passo 4
Vamos substituir $ v_{yf}^2 $ na primeira equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos a velocidade inicial $ v \approx 42,2 , m/s
R $) é a distância horizontal que o projétil percorre até tocar o solo.
Primeiro, encontramos o tempo de voo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Sabemos que $ y = -40 , m $ (pois o projétil desce 40 metros), então:
Resolvendo essa equação quadrática pelo método de Bhaskara:
Desconsideramos a solução negativa:
Passo 6
Finalmente, calculamos o alcance usando a componente horizontal da velocidade e o tempo de voo:
Resposta
A velocidade inicial $ v $ é aproximadamente 42,2 m/s e o alcance do projétil é cerca de 209,0 metros.