A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode ser expressa pela função h(t)=0,5 +log 3(t+1), onde o tempo t >= 0 é dado em anos:
a) Qual o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m.
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t)=h(3 t+2). Determine g(t)-h(t).

Passo 1

O enunciado diz que a altura de um arbusto em função do tempo é dada por h(t)=0,5+log3(t+1) para t>=0. Precisamos: na parte (a) achar o tempo para a altura ir de 0,5, m a 1,5, m; na parte (b) calcular g(t)-h(t) com g(t)=h(3t+2). Vamos usar propriedades de logaritmo e composição de funções.

Passo 2

Para a parte (a), igualamos h(t) a 1,5:
0,5 + log3(t+1) = 1,5
Subtraindo 0,5 de ambos os lados:
log3(t+1) = 1
Pela definição de logaritmo isso dá:
t + 1 = 3^1 = 3
Logo t = 2 anos.

Passo 3

Na parte (b), primeiro expressamos g(t):
g(t) = h(3t+2) = 0,5 + log3l((3t+2)+1r) = 0,5 + log3(3t+3)
Então a diferença é:
g(t) - h(t) = l[0,5 + log3(3t+3)r] - l[0,5 + log3(t+1)r]
Cancelando os 0,5 e usando a propriedade de logaritmo:
g(t) - h(t) = log3(3t+3) - log3(t+1) = log3!l(3t+3t+1r)
Como 3t+3 = 3(t+1), o quociente é 3 e
g(t) - h(t) = log3(3) = 1

Resposta

a) 2 anos; b) g(t)-h(t)=1.

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