Determine a derivada de
, utilizando a regra da cadeia:
.
Passo 1
Nesse exercício a gente vai encontrar a derivada de f(x)=e^{\sqrt{x}} usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de funções compostas e a gente vai precisar saber a derivada de e^u e de \sqrt{x}.
Passo 2
A função f pode ser vista como composição f(x)=h(u(x)), onde h(u)=e^u (a parte de fora) e u(x)=\sqrt{x} (a parte de dentro). Pela regra da cadeia temos f’(x)=h’(u(x))\cdot u’(x).
Passo 3
Vamos calcular u’(x). Como u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, aplicando a regra do poder temos u’(x)=\tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Passo 4
Agora juntamos tudo: h’(u)=e^u, então h’(u(x))=e^{\sqrt{x}}. Logo
f’(x)=e{\sqrt{x}}\cdot\tfrac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}
f’(x)=e{\sqrt{x}}\cdot\tfrac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}