Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=e^raizx.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai encontrar a derivada de f(x)=e^{\sqrt{x}} usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de funções compostas e a gente vai precisar saber a derivada de e^u e de \sqrt{x}.

Passo 2

A função f pode ser vista como composição f(x)=h(u(x)), onde h(u)=e^u (a parte de fora) e u(x)=\sqrt{x} (a parte de dentro). Pela regra da cadeia temos f’(x)=h’(u(x))\cdot u’(x).

Passo 3

Vamos calcular u’(x). Como u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, aplicando a regra do poder temos u’(x)=\tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora juntamos tudo: h’(u)=e^u, então h’(u(x))=e^{\sqrt{x}}. Logo
f’(x)=e{\sqrt{x}}\cdot\tfrac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

Resposta

f'(x)=e^raizx2raizx

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