Resolva as seguintes equações
a) 5^x+3-5^x+2-11 cdot 5^x=89
b) 4^x+1+4^x+2-4^x-1-4^x-2=315
c) 2^x+2^x+1+2^x+2+2^x+3=152
d) 100^x-1=9 cdot(10^x+1)
e) 4^x-1-33 cdot 2^x+8=0

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos cinco equações exponenciais (a–e) cada uma envolvendo potências de base 5, 4, 2 ou 10. Para resolvê-las vamos usar propriedades de potências como a^m+n=a^m a^n, fatoração de termos em comum e, quando necessário, substituições que transformem a equação em uma equação algébrica (por exemplo, y=a^x).

Passo 2

Equação a)
Primeiro escrevemos cada termo como múltiplo de 5^x:
[ 5^x+3-5^x+2-11cdot5^x =5^xl(5^3 -5^2 -11r) ]
Calculamos o interior do parêntese: 5^3-5^2-11=125-25-11=89, logo a equação vira
[ 5^xcdot89 =89 ]
Divide-se por 89 e obtém-se 5^x=1, ou seja x=0.

Passo 3

Equação b)
Escrevemos todos os termos como múltiplos de 4^x-2:
[ 4^x+1+4^x+2-4^x-1-4^x-2 =4^x-2l(4^3+4^4 -4^1 -4^0r) ]
Dentro do parêntese: 4^3+4^4-4-1=64+256-4-1=315. Então
[ 4^x-2cdot315 =315 ]
Leva a 4^x-2=1 e, portanto, x-2=0 resultando em x=2.

Passo 4

Equação c)
Agrupamos as potências consecutivas de base 2 fatorando 2^x:
[ 2^x +2^x+1+2^x+2+2^x+3 =2^x(1+2+4+8)=2^xcdot15 ]
A equação fica
[ 2^xcdot15 =152 ]
Logo 2^x=tfrac152cdottfrac115=tfrac12, o que dá x=-1.

Passo 5

Equação d)
Reconhecemos 100^x=(10^2)^x=10^2x. Fazemos a substituição y=10^x, então 100^x=y^2 e a equação
[ y^2 -1 =9(y+1) ]
Isso vira y^2 -9y -10=0, cujas raízes são y=10 e y=-1. Como y=10^x>0 descartamos y=-1, ficando 10^x=10 e x=1.

Passo 6

Equação e)
Escrevemos 4^x-1=(2^2)^x-1=2^2x-2 e substituímos u=2^x, assim 2^2x-2=u^2/4. A equação
[ u^24 -33u +8 =0 ]
multiplicada por 4 dá
[ u^2 -132u +32 =0 ]
O discriminante é De, logo as soluções em u são
[ u =66pm2raiz1081 ]
Como u=2^x>0 aceitamos as duas raízes, resultando em
[ x=log2(66+2raiz1081)ou x=log2(66-2raiz1081) ]

Resposta

a) x=0; b) x=2; c) x=-1; d) x=1; e) x=log2(66+2raiz1081) ou x=log2(66-2raiz1081).

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