integral-2^4(2 x+8-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral definida de 2x + 8 - x^2 de -2 até 4. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar cada termo dessa expressão e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Ou seja,
integral (2x + 8 - x^2) , dx = integral 2x , dx + integral 8 , dx - integral x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 2x:
    A regra é que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
    Então,
    integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
  2. Integral de 8:
    A integral de uma constante k é k cdot x.
    Assim,
    integral 8 , dx = 8x
  3. Integral de -x^2:
    Aplicando a mesma regra,
    integral -x^2 , dx = -x^33

Passo 4

Juntando todas as integrais, temos a antiderivada completa:
integral (2x + 8 - x^2) , dx = x^2 + 8x - x^33 + C
Mas como queremos a integral definida de -2 até 4, vamos ignorar a constante C e aplicar os limites.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde F(x) é a antiderivada de f(x).
Então,
integral-2^4 (2x + 8 - x^2) , dx = [ x^2 + 8x - x^33 ]-2^4 = (4^2 + 8 cdot 4 - 4^33) - ( (-2)^2 + 8 cdot (-2) - (-2)^33 )

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Para x = 4:
    4^2 + 8 cdot 4 - 4^33 = 16 + 32 - 643 = 48 - 643 = 1443 - 643 = 803
  2. Para x = -2:
    (-2)^2 + 8 cdot (-2) - (-2)^33 = 4 - 16 - -83 = -12 + 83 = -363 + 83 = -283

Passo 7

Subtraindo os resultados:
803 - ( -283 ) = 803 + 283 = 1083 = 36

Resposta

A integral definida de 2x + 8 - x^2 de -2 até 4 é igual a 36.

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