7.4. A altura de um objeto lançado verticalmente é dada por
Determine a velocidade instantânea no instante
.
Solução. A velocidade instantânea é a derivada da posição:
Podemos calcular pela regra de derivação de polinômios:
Logo,
Portanto, a velocidade instantânea no instante
é
unidades de comprimento por unidade de tempo. Como o valor é positivo, o objeto ainda está subindo nesse instante.
Solução. A velocidade instantânea é a derivada da posição:
Passo 1
O enunciado fornece a função posição do objeto em função do tempo:
O que é pedido: determinar a velocidade instantânea no instante
.
Informações relevantes dadas:
- A função posição é
. - O instante onde se quer a velocidade é
. - Não foram dadas unidades explícitas; portanto a resposta será em “unidades de comprimento por unidade de tempo”.
Passo 2
Conceito fundamental (aula rápida): velocidade instantânea e derivada.
- A velocidade instantânea
é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, isto é, a derivada de em relação a . - Definição pela razão de diferença:
Isso significa: imagine um intervalo de tempo muito pequeno
; a variação média de posição
tende ao valor da velocidade no instante quando
vai a zero. Na prática de prova usamos regras de derivação para calcular essa derivada de forma direta.
Passo 3
Regra prática útil (aula prática): derivação de polinômios e linearidade.
- Regra do poder (power rule): se
com inteiro, então
- Regra da constante multiplicativa e soma: se
então ; e a derivada da soma é a soma das derivadas. - Exemplo curto: a derivada de
é porque dá .
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso
. Vamos derivar termo a termo usando linearidade e a regra do poder.
- Primeiro termo:
. - Usando a regra do poder:
. - Multiplicando pela constante
: .
- Usando a regra do poder:
- Segundo termo:
. - Como é
, a derivada é .
Portanto a velocidade (derivada da posição) é
- Como é
Passo 5
Avaliar a velocidade no instante
.
- Substituir
em :
- Fazer a conta passo a passo:
Logo
Passo 6
Interpretação e dica de prova.
- O valor
significa que, no instante , a posição está aumentando à razão de unidades de comprimento por unidade de tempo — ou seja, o objeto ainda está subindo (velocidade positiva indica subida quando a posição cresce com o tempo). - Dica prática para prova: ao ver um polinômio quadrático
, já saiba que a derivada será ; aqui e , então . Isso acelera bastante o cálculo sem perder precisão.