7.4. A altura de um objeto lançado verticalmente é dada por

s(t)=-16 t^{2}+64 t
Determine a velocidade instantânea no instante t=1.
Solução. A velocidade instantânea é a derivada da posição:
v(t)=s^{\prime}(t)
Podemos calcular pela regra de derivação de polinômios:
s^{\prime}(t)=-32 t+64
Logo,
v(1)=-32 \cdot 1+64=32
Portanto, a velocidade instantânea no instante t=1 é
32
unidades de comprimento por unidade de tempo. Como o valor é positivo, o objeto ainda está subindo nesse instante.

Passo 1

O enunciado fornece a função posição do objeto em função do tempo:
s(t) = -16 t^{2} + 64 t.
O que é pedido: determinar a velocidade instantânea no instante t=1.
Informações relevantes dadas:
  • A função posição é s(t) = -16 t^{2} + 64 t.
  • O instante onde se quer a velocidade é t=1.
  • Não foram dadas unidades explícitas; portanto a resposta será em “unidades de comprimento por unidade de tempo”.

Passo 2

Conceito fundamental (aula rápida): velocidade instantânea e derivada.
  • A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, isto é, a derivada de s(t) em relação a t.
  • Definição pela razão de diferença:
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Isso significa: imagine um intervalo de tempo muito pequeno h; a variação média de posição \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h} tende ao valor da velocidade no instante quando h vai a zero. Na prática de prova usamos regras de derivação para calcular essa derivada de forma direta.

Passo 3

Regra prática útil (aula prática): derivação de polinômios e linearidade.
  • Regra do poder (power rule): se f(t)=t^{n} com n inteiro, então
f'(t)=n t^{n-1}.
  • Regra da constante multiplicativa e soma: se g(t)=a\cdot f(t) então g'(t)=a\cdot f'(t); e a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Exemplo curto: a derivada de a t é a porque t^{1} 1\cdot t^{0}=1.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso s(t). Vamos derivar termo a termo usando linearidade e a regra do poder.
  • Primeiro termo: -16 t^{2}.
    • Usando a regra do poder: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t.
    • Multiplicando pela constante -16: \dfrac{d}{dt}\bigl(-16 t^{2}\bigr) = -16\cdot 2t = -32 t.
  • Segundo termo: 64 t.
    • Como é 64\cdot t^{1}, a derivada é 64\cdot 1\cdot t^{0}=64.
      Portanto a velocidade (derivada da posição) é
v(t)=s'(t) = -32 t + 64.

Passo 5

Avaliar a velocidade no instante t=1.
  • Substituir t=1 em v(t):
v(1) = -32\cdot 1 + 64.
  • Fazer a conta passo a passo:
-32\cdot 1 = -32, \qquad -32 + 64 = 32.
Logo
v(1)=32.

Passo 6

Interpretação e dica de prova.
  • O valor v(1)=32 significa que, no instante t=1, a posição está aumentando à razão de 32 unidades de comprimento por unidade de tempo — ou seja, o objeto ainda está subindo (velocidade positiva indica subida quando a posição cresce com o tempo).
  • Dica prática para prova: ao ver um polinômio quadrático at^{2}+bt+c, já saiba que a derivada será 2at+b; aqui a=-16 e b=64, então v(t)=2(-16)t+64=-32t+64. Isso acelera bastante o cálculo sem perder precisão.

Resposta

32 unidades de comprimento por unidade de tempo.

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