A altura h de um paralelepípedo retângulo diminui a uma taxa de 2 cm / s, enquanto que sua largura l aumenta a uma taxa de 2 cm / s e seu comprimento c aumenta a uma taxa de 1 cm / s. Encontre a taxa de variação para
a área;
do paralelepípedo retângulo quando h=12 cm, l=5 cm e c=4 cm.

Passo 1

Temos um paralelepípedo retângulo com altura h, largura l e comprimento c. Sabemos que dh/dt=-2 cm/s, dl/dt=2 cm/s e dc/dt=1 cm/s. Queremos a taxa de variação da área superficial quando h=12 cm, l=5 cm e c=4 cm. O conteúdo aqui é taxas relacionadas e vamos usar derivada em relação ao tempo.

Passo 2

A área superficial de um paralelepípedo retângulo é a soma das áreas das seis faces. Escrevemos em bloco:
S = 2l(lc + lh + chr)

Passo 3

Para achar dS/dt, diferenciamos cada termo em relação ao tempo aplicando a regra do produto:
dSdt = 2l(ddt(lc) + ddt(lh) + ddt(ch)r) = 2l(ldcdt + cdldt + ldhdt + hdldt + cdhdt + hdcdtr)

Passo 4

Agora substituímos h=12, l=5, c=4 e as taxas dh/dt=-2, dl/dt=2, dc/dt=1:
  • l,dc/dt = 5times1 = 5
  • c,dl/dt = 4times2 = 8
  • l,dh/dt = 5times(-2) = -10
  • h,dl/dt = 12times2 = 24
  • c,dh/dt = 4times(-2) = -8
  • h,dc/dt = 12times1 = 12

Passo 5

Somando dentro dos parênteses: 5 + 8 -10 + 24 -8 + 12 = 31. Logo,
dSdt = 2times31 = 62 cm^2/s

Resposta

62 cm^2/s

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