Para a função
faça:
faça uma tabela com os sinais de
e uma tabela com os sinais de
, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;
faça uma tabela com os sinais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ e precisamos fazer duas tabelas: uma com os sinais da primeira derivada $ f’ $ e outra com os sinais da segunda derivada $ f’’ $. Essas tabelas vão nos ajudar a identificar onde a função tem máximos, mínimos e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $. Para derivar essa função que é uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal de $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $. O denominador $ (x^{2} + 1)^{2} $ é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e elevado ao quadrado continua positivo. Portanto, o sinal de $ f’(x) $ depende somente do numerador $ -4x $:
- Se $ x > 0 $, então $ -4x < 0 $.
- Se $ x < 0 $, então $ -4x > 0 $.
- Se $ x = 0 $, então $ f’(0) = 0 $.
Passo 4
Vamos montar a tabela de sinais para $ f’(x) $:
Intervalo | Sinal de $ f’(x) $ |
---|---|
$ x < 0 $ | $ + $ |
$ x = 0 $ | $ 0 $ |
$ x > 0 $ | $ - $ |
Passo 5
Com base na tabela de sinais de $ f’(x) $, podemos identificar os pontos críticos e determinar onde a função tem máximos ou mínimos:
- Em $ x = 0 $, a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo local.
- Não há outros pontos onde a derivada muda de sinal, então não há outros máximos ou mínimos.
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Começamos derivando $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Fatorando $ (x^{2} + 1) $:
Então, a segunda derivada é:
Passo 7
Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) = \frac{12x^{2} - 4}{(x^{2} + 1)^{3}} $. Novamente, o denominador $ (x^{2} + 1)^{3} $ é sempre positivo. Portanto, o sinal de $ f’’(x) $ depende somente do numerador $ 12x^{2} - 4 $:
- $ 12x^{2} - 4 = 0 $ quando $ x^{2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $, ou seja, $ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $.
- Para $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ 12x^{2} - 4 < 0 $.
- Para $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ 12x^{2} - 4 > 0 $.
Passo 8
Vamos montar a tabela de sinais para $ f’’(x) $:
Intervalo | Sinal de $ f’’(x) $ |
---|---|
$ x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ + $ |
$ -\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ - $ |
$ x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ + $ |
Passo 9
Com base na tabela de sinais de $ f’’(x) $, podemos identificar os pontos de inflexão onde a concavidade da função muda:
- Em $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $, a segunda derivada muda de sinal, indicando pontos de inflexão.
- Para $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3}
f’’(x) < 0 $). - Para $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3}
f’’(x) > 0 $).
Resposta
Intervalo | Sinal de $ f’(x) $ |
---|---|
$ x < 0 $ | $ + $ |
$ x = 0 $ | $ 0 $ |
$ x > 0 $ | $ - $ |
Conclusão: A função possui um máximo local em $ x = 0 $.
Intervalo | Sinal de $ f’’(x) $ |
---|---|
$ x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ + $ |
$ -\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ - $ |
$ x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ + $ |
Conclusão: A função tem pontos de inflexão em $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.