Para a função f(x)=x^2+3x^2+1 faça:
faça uma tabela com os sinais de f^prime e uma tabela com os sinais de f^prime prime, que justifiquem onde estão os máximos, mínimos e pontos de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ e precisamos fazer duas tabelas: uma com os sinais da primeira derivada $ f’ $ e outra com os sinais da segunda derivada $ f’’ $. Essas tabelas vão nos ajudar a identificar onde a função tem máximos, mínimos e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $. Para derivar essa função que é uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente:
f'(x)
Simplificando o numerador:
f(x) = x^2 + 3x^2 + 1
Então, a primeira derivada é:
f'(x) = (2x)(x^2 + 1) - (x^2 + 3)(2x)(x^2 + 1)^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $. O denominador $ (x^{2} + 1)^{2} $ é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e elevado ao quadrado continua positivo. Portanto, o sinal de $ f’(x) $ depende somente do numerador $ -4x $:
  • Se $ x > 0 $, então $ -4x < 0 $.
  • Se $ x < 0 $, então $ -4x > 0 $.
  • Se $ x = 0 $, então $ f’(0) = 0 $.

Passo 4

Vamos montar a tabela de sinais para $ f’(x) $:
Intervalo Sinal de $ f’(x) $
$ x < 0 $ $ + $
$ x = 0 $ $ 0 $
$ x > 0 $ $ - $

Passo 5

Com base na tabela de sinais de $ f’(x) $, podemos identificar os pontos críticos e determinar onde a função tem máximos ou mínimos:
  • Em $ x = 0 $, a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de máximo local.
  • Não há outros pontos onde a derivada muda de sinal, então não há outros máximos ou mínimos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Começamos derivando $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $:
Usando a regra do quociente novamente:
f''(x)
Simplificando:
f'(x) = -4x(x^2 + 1)^2
Fatorando $ (x^{2} + 1) $:
f''(x) = (-4)(x^2 + 1)^2 - (-4x)(2)(x^2 + 1)(2x)(x^2 + 1)^4
Então, a segunda derivada é:
f''(x) = -4(x^2 + 1)^2 + 16x^2(x^2 + 1)(x^2 + 1)^4

Passo 7

Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) = \frac{12x^{2} - 4}{(x^{2} + 1)^{3}} $. Novamente, o denominador $ (x^{2} + 1)^{3} $ é sempre positivo. Portanto, o sinal de $ f’’(x) $ depende somente do numerador $ 12x^{2} - 4 $:
  • $ 12x^{2} - 4 = 0 $ quando $ x^{2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $, ou seja, $ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $.
  • Para $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ 12x^{2} - 4 < 0 $.
  • Para $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ 12x^{2} - 4 > 0 $.

Passo 8

Vamos montar a tabela de sinais para $ f’’(x) $:
Intervalo Sinal de $ f’’(x) $
$ x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $ $ + $
$ -\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ - $
$ x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ + $

Passo 9

Com base na tabela de sinais de $ f’’(x) $, podemos identificar os pontos de inflexão onde a concavidade da função muda:
  • Em $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $, a segunda derivada muda de sinal, indicando pontos de inflexão.
  • Para $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3} f''(x) çãé f’’(x) < 0 $).
  • Para $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} x = -raiz33 çãé f’’(x) > 0 $).

Resposta

Intervalo Sinal de $ f’(x) $
$ x < 0 $ $ + $
$ x = 0 $ $ 0 $
$ x > 0 $ $ - $
Conclusão: A função possui um máximo local em $ x = 0 $.

Intervalo Sinal de $ f’’(x) $
$ x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $ $ + $
$ -\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ - $
$ x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ + $
Conclusão: A função tem pontos de inflexão em $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

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