Encontre o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
  1. x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=0;
  2. (cos x) y^prime prime+(sin x) y^prime-x y=0;
  3. x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-mu^2) y=0, mu>0 constante.

Passo 1

A questão pede para encontrar o Wronskiano de duas soluções de três equações diferenciais de segunda ordem lineares homogêneas. O conteúdo principal é que, para a equação padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0,
o Wronskiano satisfaz
W(x) = C e^-integral P(x),dx,
e precisaremos colocar cada equação nessa forma, identificar P(x) e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Para a equação
x^2y'' - x(x+2)y' + (x+2)y = 0,
dividimos por x^2 ( xneq0) e fica
y'' - l(1 + 2xr)y' + x+2x^2y = 0
Logo P(x) = -1 - tfrac2x. Assim
W1(x) = C e^-integral P(x),dx = C e^-integral(-1 - tfrac2x),dx = C e^x + 2ln|x| = C x^2 e^x

Passo 3

Para a equação
(cos x)y'' + (sin x)y' - x y = 0,
dividimos por cos x ( cos xneq0) e fica
y'' + tan x,y' - xcos xy = 0
Logo P(x) = tan x. Assim
W2(x) = C e^-integral tan x,dx = C e^ln|cos x| = Ccos x

Passo 4

Para a equação
x^2y'' + x y' + (x^2 - mu^2)y = 0,
dividimos por x^2 ( xneq0) e fica
y'' + 1xy' + l(1 - mu^2x^2r)y = 0
Logo P(x) = 1x. Assim
W3(x) = C e^-integral tfrac1x ,dx = C e^-ln|x| = Cx

Resposta

As Wronskianas são
W1(x) = C,x^2 e^x,
W2(x) = Ccos x,
W3(x) = tfracCx,
onde C é constante arbitrária.

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