Calcule, pela definição, a derivada da função f(x)=xx+1 em x=1.

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x)=xx+1 em x=1, usando a definição de derivada como limite do quociente incremental. Vamos aplicar o conceito de derivada pela definição e calcular f'(1).

Passo 2

A definição de derivada em x=1 é dada por:
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
Substituindo f, temos:
f(1+h)=1+h(1+h)+1=1+h2+h,
f(1)=11+1=12

Passo 3

Agora vamos montar o numerador do quociente incremental:
f(1+h)-f(1)=1+h2+h-12
Colocando em denominador comum:
1+h2+h-12=2(1+h)-(2+h)2(2+h)=2+2h-2-h2(2+h)=h2(2+h)

Passo 4

Dividindo pelo h e tomando o limite, temos:
f(1+h)-f(1)h=12(2+h)Rightarrow f'(1)=limhto012(2+h)=12cdot2=14

Resposta

f'(1)=14.

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