- Altura e Peso de Indivíduos Um estudo coletou dados de altura (
) peso ( Y, em kg) de 8 indivíduos:
Indivíduo
Altura
Peso
1
160
55
2
165
60
3
170
65
4
175
70
5
180
75
6
185
80
7
190
85
8
195
90
a) Determine a equação de regressão linear simples que prevê o peso com base na altura.
| Indivíduo | Altura
|
Peso
|
| 1 | 160 | 55 |
| 2 | 165 | 60 |
| 3 | 170 | 65 |
| 4 | 175 | 70 |
| 5 | 180 | 75 |
| 6 | 185 | 80 |
| 7 | 190 | 85 |
| 8 | 195 | 90 |
Passo 1
O enunciado dá os pares (altura, peso) de 8 indivíduos e pede a equação de regressão linear simples que prevê o peso com base na altura.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Número de observações:
. - Pares
: -
, , , , , , , .
-
O que o problema pede:
- Determinar a equação de regressão linear simples da forma
, onde: -
é o peso previsto (em kg), -
é a altura (em cm), -
é o coeficiente angular (slope), -
é o coeficiente linear (intercept).
-
Passo 2
Breve explicação didática do método (mínimos quadrados):
- A regressão linear simples ajusta uma reta
que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos . - As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
onde e - Interpretação:
é a variação esperada em quando aumenta uma unidade; é o valor previsto de quando (nem sempre faz sentido prático, mas faz parte da equação).
Passo 3
Calcular somas básicas necessárias. Vou listar e somar passo a passo (pegando os valores da tabela do enunciado).
Valores
:
.
Valores :
.
Valores
Cálculos:
Produtos e quadrados (cada termo calculado a partir da tabela):
Passo 4
Calcular as médias
e
:
Passo 5
Calcular
e
usando as fórmulas dadas:
Primeiro
:
Calcular
e dividir por
:
Portanto
Agora
:
Calcular
e dividir por
:
Portanto
Passo 6
Calcular o coeficiente angular
:
Interpretação rápida: isso significa que, segundo o ajuste, a cada aumento de
cm na altura espera-se um aumento de
kg no peso.
Passo 7
Calcular o coeficiente linear
:
Interpretação: a reta ajustada é interceptada em
kg quando
. Esse intercepto não tem interpretação física direta (peso negativo para
não faz sentido), mas é necessário para a equação.
Passo 8
Escrever a equação de regressão final e verificar com um exemplo:
- Equação:
, que simplifica para .
Verificação rápida com:
que coincide com o
observado para
(na tabela
). Na verdade os dados são perfeitamente lineares aqui, então a reta passa por todos os pontos.