1. Altura e Peso de Indivíduos Um estudo coletou dados de altura ( \mathrm{X}, \mathrm{em} \mathrm{cm} ) peso ( Y, em kg) de 8 indivíduos:
Indivíduo Altura (\mathrm{X}) Peso (\mathrm{Y})
1 160 55
2 165 60
3 170 65
4 175 70
5 180 75
6 185 80
7 190 85
8 195 90
a) Determine a equação de regressão linear simples que prevê o peso com base na altura.

Passo 1

O enunciado dá os pares (altura, peso) de 8 indivíduos e pede a equação de regressão linear simples que prevê o peso com base na altura.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Número de observações: n=8.
  • Pares (X_i,Y_i):
    • (160,55), (165,60), (170,65), (175,70), (180,75), (185,80), (190,85), (195,90).
O que o problema pede:
  • Determinar a equação de regressão linear simples da forma \hat{Y}=a+bX, onde:
    • \hat{Y} é o peso previsto (em kg),
    • X é a altura (em cm),
    • b é o coeficiente angular (slope),
    • a é o coeficiente linear (intercept).

Passo 2

Breve explicação didática do método (mínimos quadrados):
  • A regressão linear simples ajusta uma reta \hat{Y}=a+bX que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \sum_{i=1}^{n} (Y_i-\hat{Y}_i)^2.
  • As fórmulas fechadas para os coeficientes são: b=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}, \qquad a=\bar{Y}-b\,\bar{X},onde S_{XX}=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^{n}X_i)^2}{n}, \qquad S_{XY}=\sum_{i=1}^{n}X_iY_i-\frac{(\sum_{i=1}^{n}X_i)(\sum_{i=1}^{n}Y_i)}{n},e \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i.
  • Interpretação: b é a variação esperada em Y quando X aumenta uma unidade; a é o valor previsto de Y quando X=0 (nem sempre faz sentido prático, mas faz parte da equação).

Passo 3

Calcular somas básicas necessárias. Vou listar e somar passo a passo (pegando os valores da tabela do enunciado).
Valores X_i: 160,165,170,175,180,185,190,195.
Valores Y_i: 55,60,65,70,75,80,85,90.
Cálculos:
\sum_{i=1}^{8} X_i = 160+165+170+175+180+185+190+195 = 1420.
\sum_{i=1}^{8} Y_i = 55+60+65+70+75+80+85+90 = 580.
Produtos e quadrados (cada termo calculado a partir da tabela):
\sum_{i=1}^{8} X_i^2 = 160^2+165^2+170^2+175^2+180^2+185^2+190^2+195^2 = 253100.
\sum_{i=1}^{8} X_iY_i = 160\cdot55+165\cdot60+170\cdot65+175\cdot70+180\cdot75+185\cdot80+190\cdot85+195\cdot90 = 104000.

Passo 4

Calcular as médias \bar{X} e \bar{Y}:
\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n}=\frac{1420}{8}=177{,}5.
\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}=\frac{580}{8}=72{,}5.

Passo 5

Calcular S_{XX} e S_{XY} usando as fórmulas dadas:
Primeiro S_{XX}:
S_{XX}=\sum X_i^2-\frac{(\sum X_i)^2}{n}=253100-\frac{1420^2}{8}.
Calcular 1420^2 e dividir por 8:
1420^2=2016400,\qquad \frac{1420^2}{8}=\frac{2016400}{8}=252050.
Portanto
S_{XX}=253100-252050=1050.
Agora S_{XY}:
S_{XY}=\sum X_iY_i-\frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n}=104000-\frac{1420\cdot580}{8}.
Calcular 1420\cdot580 e dividir por 8:
1420\cdot580=823600,\qquad \frac{823600}{8}=102950.
Portanto
S_{XY}=104000-102950=1050.

Passo 6

Calcular o coeficiente angular b:
b=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}=\frac{1050}{1050}=1.
Interpretação rápida: isso significa que, segundo o ajuste, a cada aumento de 1 cm na altura espera-se um aumento de 1 kg no peso.

Passo 7

Calcular o coeficiente linear a:
a=\bar{Y}-b\,\bar{X}=72{,}5-1\cdot177{,}5=72{,}5-177{,}5=-105.
Interpretação: a reta ajustada é interceptada em -105 kg quando X=0. Esse intercepto não tem interpretação física direta (peso negativo para X=0 não faz sentido), mas é necessário para a equação.

Passo 8

Escrever a equação de regressão final e verificar com um exemplo:
  • Equação: \hat{Y}=-105+1\cdot X, que simplifica para \hat{Y}=X-105.
    Verificação rápida com X=180:
\hat{Y}=180-105=75,
que coincide com o Y observado para X=180 (na tabela Y=75). Na verdade os dados são perfeitamente lineares aqui, então a reta passa por todos os pontos.

Resposta

\hat{Y}=-105+1\cdot X

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